Frage von L7Fragen7Z, 148

Kann jemand diese Aufgabe B lösen und mir den Lösungsweg erklären?

Das Math-Thema heisst "Gleichungssysteme mit zwei Variablen" und ich kann die Aufgabe B einfach nicht lösen. Das Resultat wäre (-24/-16)! Den Lösungsweg ist aber nirgends. Man muss das Additionsverfahren anwenden und zuerst x dann y herausfinden. Kann mir jemand den Lösungsweg zeigen? Vielleicht mit Bild oder nummeriert? Vielen Dank für Eure Hilfe!!!!💎👌🏼😄

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Volens, Community-Experte für Gleichungen, Mathe, Mathematik, ..., 51

Die Aufgabe ist auch ein kleiner Hammer. Sie erfordert vor allem die Kenntnis der Bruchrechnung, deren Wichtigkeit man als Schüler gern übersieht.

http://dieter-online.de.tl/Br.ue.che-1.htm

Hier gilt es nämlich, einen Hauptnenner zu finden, damit die leidigen Nenner verschwinden.

I     - 2 / (y -8) + 2 / (x - 2y)    = 1/3
II      3 / (y - 8) + 3 / (2y - x)   = 1/4

Sämtliche Nenner sind teilerfremd, also ist der Hauptnenner das Produkt aus jeweils allen dreien.        I      3 (y - 8) (x - 2y)          II      4 (y - 8) (2y - x)

Ich kürze die vorhandene Komponente sofort wieder weg. Die anderen landen im Zähler. Die Nenner sind dann alle weggekürzt, und ich habe nur noch Produkte. (Versuche es mal nachzuvollziehen.) Ergebnis:

I      -2 * 3 (x-2y)  +  2 * 3 (y-8)   =  (y - 8) (x - 2y)
II     3 * 4 (2y- x)   -  3 * 4 (y-8)   =  (y - 8) (2y - x)

Mit diesen Gleichungen will ich dich erst einmal allein lassen. Du müsstest sie mit elementaren Mitteln ausmultiplizieren können. Wahrscheinlich wird sich vieles wegheben. Dann musst du nur noch x und y nach links bringen und die Zahlen nach rechts. Denn eigentlich jann da nur noch ein LGS mit 2 Unbekannten übrigbleiben.

Die Frage steht auf meinem Merkzettel. Ich gucke ab und zu, ob du einen Kommentar geschrieben hast. Und, wie du siehst, würden dir auch andere helfen.

Kommentar von L7Fragen7Z ,

Ich bin jetzt auf 30y + 48 = 18x gekommen! Aber muss ich jetzt dies noch durch 18 rechnen und bei einer der beiden Gleichungen einsetzen?

Kommentar von Volens ,

Diese Gleichung ist zwar richtig, wie man sieht, wenn man die bekannten Lösungen einsetzt. Wenn man die Lösungen nicht kennt, ist sie nicht nutzbar, denn sie enthält immer noch zwei Unbekannte.

Ich habe die Substitutionslösung in allen Einzelheiten durchgeführt (andere Antwort!). Magst du sie nicht und möchtest lieber in diesen Gleichungen rechnen? Das ist aber umständlicher.

Auf jeden Fall brauchst du zunächst immer noch zwei Gleichungen für zwei Unbekannte, damit du dann abschließend eine der Unbekannten eliminieren kannst. Eine Gleichung ist zu wenig!

Kommentar von L7Fragen7Z ,

Aha dann hast du aber das Gleichsetzungsverfahren verwendet ;-) 👍🏼

Kommentar von L7Fragen7Z ,

In der Lösung steht: Multiplizieren Sie Gleichung 1 mit •3 und die Gleichung 2 mit •(-2) und addieren Sie die neuen Gleichungen. Lösen Sie nach Y auf (Sie erhalten (y=-16). Setzen Sie den Wert von Y in eine beliebige Gleichung ein und lösen Sie nach X auf -> L={(-24/-16)}

Aber bei mir funktioniert dass iwie nicht!

Kommentar von Volens ,

Doch, das ist richtig. Und auf die Faktoren bin ich nicht gekommen, deshalb habe ich substutuiert, um auf die Lösung zu kommen.

Ich rechne es mal vor. Gehen wir von den Ausgangsgleichungen aus:

I    -2 / (y-8)  +  2 / (x-2y)   =    1/3      | *3
II   3 / (y-8)   -   3 / (2y - x) =    1/4      | * (-2)

I   -6 / (y-8)   +  6 / (x-2y)   =    1
II  -6 / (y-8)   -   6 / (x-2y)   = -1/2

In der 2. Gleichung muss hier dieselbe Umformung angewendet werden, die ich bei meiner Rechnung auch schon eingebaut habe:

Wenn der Term    3 / (2y - x)  multipliziert wird mit (-2)
dann muss man das Minus diesmal in den Nenner packen, also:
 3 * 2 / ( - (2y -x)) = 6 / (-2y + x) = 6 / (x - 2y)

I verändert sich nicht, aber II sieht anders aus:


I   -6 / (y-8)   +  6 / (x-2y)   =    1
II  -6 / (y-8)   -   6 / (x-2y)   =   -1/2

Wenn ich jetzt I und II addiere, fallen die rechten Brüche weg.

I + II      -12 / (y-8)   =   1/2                 | Seiten vertauschen
                        1/2  =   -12 / (y-8)       | *(y-8)
           1/2 * (y - 8)   =   -12                 | *2
                    y - 8    =   -24                  | +8
                    y         =   -16

Wenn man soweit ist, bekommt man aus der Gleichung I oder II tatsächlich ohne Schwierigkeiten x = -24 heraus.

So geht es also auch. Aber man muss auf die Faktoren kommen, während es bei der Substitution automatisch herauskommt.
Es führen viele Wege nach Rom.

              

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen, Mathe, Mathematik, ..., 33

Es hat mir die ganze Zeit schon zu denken gegeben, dass die Nenner so ähnlich sind. Der zweite Bruch in der Gleichung II lässt sich umformen:

-3 / (2y - x)  =  3 / (-(2y - x))  =  3 / (-2y + x)  =  3 / (x - 2y)

Damit habe ich die Gleichheit des jeweils ersten und zweiten Nenners gewonnen. Und das hilft viel! Ich substutuiere:

x - 2y = a
y - 8   = b

Damit sehen die beiden Gleichungen so aus:

I     -2 / b  +  2 / a  =  1/3
II     3 / b  +  3 / b  =  1/4     | Hauptnenner für beide und multiplizieren

I      -6b    +    6a   =  a b
II    12b    +   12a   =  a b

Dies löse ich mit dem Einsetzverfahren, weil Addition bei Produkten aus Unbekannten nicht funktioniert:

I                          6a  =  ab + 6b
II   12 b + 2(ab + 6b)  =  ab             | ausmultiplizieren
      12 b + 2ab + 12b  = ab              | zusammenfassen und -2ab
                     24 b      = -ab             | /b
                       24       = -a

                          a     = -24

I                     -144    =  -24b + 6b
                      -144    =  -18b            | /(-18)

                            b   =  8

Durch die Substitution kann ich jetzt alle Rechnereien mit y² und xy vergessen, denn wegen 

y - 8   = a     ist    y = -16    
x - 2y = b     ist    x  = -24

Heureka! Das ist das richtige Paar x|y.
Es ist vollbracht
und anders als gedacht!       

Kommentar von L7Fragen7Z ,

Ich checke denn letzten teil nicht. Du hast ja die -24 aber warum kannst du dies nicht einfach in einer der beiden Gleichungen einsetzen? :-(

Kommentar von Volens ,

Ich habe für die Errechnung des b die substituierten Gleichungen verwendet. Das ging schneller. Dann erst habe ich daraus x errechnet.

Die andere Art habe ich dir gerade in der ersten Antwort vorgerechnet. Das sollte jetzt klar sein, wenn du mit Brüchen Bescheid weißt. Fragen kannst du aber immer.

Erreichen kannst du mich hier jederzeit, wenn wir Freunde sind. Im Blog ginge es auch, da würde ich es aber nicht so schnell merken, weil ich die Kontaktseite selten aufschlage.

Kommentar von L7Fragen7Z ,

Egal ich gebe es auf diese Aufgabe ist einfach unmöglich😤😖😞 Aber trotzdem vielen Dank!! Hast du KIK oder so wo man dich bei Problemen anschreiben kann? Deine Website ist auch toll ;-)

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 53

erweitere beide Gleichungen zunächst mit dem Hauptnenner; 3(y-8)(x-2y)

-6(x-2y) +6(y-8) = (y-8)(x-2y) jetzt Klammern lösen;

das gleiche mit der 2. Gleichung machen;

danach könnte ich dir dann weiter helfen.

Kommentar von L7Fragen7Z ,

Jetzt habe ich bei Gleichung 1: -6x+18y-48=xy-(2y^2)-8x+16y
Und bei Gleichung zwei: 12y-12x+96=(2y^2)-16y-xy+8x
Beide addiert: -18x+30y+48=0

Antwort
von kuchenstylesGF, 62

Mach das ganze mit dem Additionsverfahren.

Ist doch einfach.

Kommentar von L7Fragen7Z ,

Wie hast du es denn gemacht?

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