Frage von klosereus, 90

Kann jemand die Gleichung -x^3-2x^2-1=0 lösen?

Antwort
von FelixFoxx, 11

-x³-2x²-1=0 | * (-1)

x³+2x²+1=0

Diese Gleichung hat keine rationale Lösung, weil diese ein Teiler von 1 sein müsste, +1 bzw. -1 die Gleichung aber nicht erfüllt.

Man kann also nur ein Näherungsverfahren anwenden.


Kommentar von polygamma ,
Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 4

Ja, analog zur pq-Formel bei quadr. Gl. gibt es die PQRST-Formel bei Kubischen Gleichungen:

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

ABER das ist kein Schulstoff! Hattet Ihr schon komplexe Zahlen?

Die eine reelle Lösung lautet exakt:

(-8*(2/(43-3*sqrt(177)))^(1/3)-2^(2/3)*(43-3*sqrt(177))^(1/3)-4)/6

(sqrt = Wurzel)

=-2.20556943040059031170202861778382342637710891959769944...

(kann man auf zig Mio. Stellen berechnen ... )

Die beiden anderen Lösungen sind komplex.

{die umständlichen Cardanischen Formeln mit Fallunterscheidung lasse ich mal weg }

Kein Lehrer bis Klasse 9 würde solche Frage stellen, da Schüler nur leichte Sonderfälle (ganzzahlige Lösungen) vorgesetzt bekommen.

Außerdem kann man durch Multiplikation mit -1 alle Vorzeichen negieren:

x³+2*x²+1=0 siehe Bild

- selbst ausgedacht?

- Vorzeichen vertauscht?

Antwort
von uncledolan, 8

-x³ - 2x² - 1 = 0

bzw

x³ + 2x² + 1 = 0

Das Problem bei der Lösung dieser Aufgabe ist, dass wegen der -1 nicht ausgeklammert werden kann. Die Gleichung hat keine offensichtliche Lösung, sondern kann nur durch Annäherung bestimmt werden.

Dafür gibt es gute Websites, z.B. Symbolab:

https://www.symbolab.com/solver/step-by-step/-x%C2%B3%20-%202x%C2%B2%20-%201%20%...

x = -2,20557 (näherungsweise)

Um bei solchen Problemen besser voranzukommen, kann auch die grafische Darstellung sehr helfen:

http://de.numberempire.com/graphingcalculator.php?functions=-x%5E3-2*x%5E2-1&xmin=-4.306547&xmax=3.017673&ymin=-3.08565&ymax=1.797163&var=x

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 14

Ich hätte zuerst Polynomdivision versucht, aber da die Gleichung keine triviale Lösung hat, ist das schwierig.

Da bietet sich ein Näherungsverfahren wie das nach Newton an. ;)

LG Willibergi

Antwort
von fjf100, 14

hat nur 1 "reelle Nullstelle" bei x= - 2,205

und 2 "konjugiert komplexe" Lösungen

z1=0,10278 + i 0,6654 und z2=0,10278 - i 0,6654

Lösung mit meinen GTR (Casio) in 1 Minute.

Tipp : Besorge dir privat auch einen Graphikrechner,dann hast du solche Probleme nicht 

In "Handarbeit" : Zuerst die "reelle Nullstelle durch probieren angenähert bestimmen und dann mit der Näherungsformeln von "Regula falsi" oder "Newton" verbessern.

Wenn die Genauigkeit der Nullstelle ausreicht,dann eine "Polynondivision " durchführen (Linearfaktor abspalten)

( - 1 *x^3 - 2 *x^2 - 1) : (x - (- 2,205)=

Dies führt zu einer quadratischen Funktion,die dann mit der p-q-Formel gelöst wird. 

Antwort
von TUrabbIT, 9

Hm also klar ist:
Die eigentliche Rechnung ist x^3-2x^2=1
Das mag man ausklammern ergibt x^2(x-2)=1 x muss somit im Bereich zwischen 2 und 3 sein. (Da 2 zu niedrig und 3 zu hoch).
Durch binäre Suche kann man sich annähern: <2.5, <2.25, >2.125, >2.1625, >2.2, <2.22...<2.206... Usw bis man einen passenden Wert hat.

Kommentar von mango68 ,

Das erste Gleid ist - x^3

Antwort
von surbahar53, 9

Keine Lösung, aber vielleicht kommt mit diesem Ansatz ein anderer weiter

-x^3 - 2x^2 - 1 = 0
x^3 + 2x^2 + 1 = 0
x^3 + 2x^2 + 1 + x = x
(x^2 + x) * (x + 1) + 1 = x
x * (x + 1) * (x + 1) + 1 = x
x * (x + 1) * (x + 1) = (x - 1)

???

Kommentar von polygamma ,

Die Aussage: "Keine Lösung" ist falsch.

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz\_der\_Algebra#Satz

Die Gleichung hat für x eine reelle und zwei komplexe Lösungen.

Oder meinst du mit "Keine Lösung" nur, dass du keine Lösung finden konntest? Falls ja, ignoriere das Obere.

Kommentar von surbahar53 ,

Ich kam bei "???" nicht weiter, aus meiner Sicht also keine Lösung ...

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