Frage von Hrajin, 108

Kann jemand das Geburtstagsparadoxon "einfach" erklären?

Ich beziehe mic h auf den Artikel: https://de.wikipedia.org/wiki/Geburtstagsparadoxon

Leider bin ich in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine absolute Niete und ich bezweifle auch, dass ich je dahinter steigen werde.

Ich würde es aber dennoch liebend gerne verstehen.

Kann es mir also jemand möglichst unmathematisch (also bitte ohne komplizierte Formeln) erklären, wie man darauf kommt, dass bei 23Leuten bereits 50% erreicht sein sollen?

Alles was meine Logik sieht ist, dass es bereits weniger Leute sind als ein Monat Tage hat.. und es gibt ja immerhin 12 Monate... die Chance wäre gefühl weniger als 1:12.

Also falls sich jemand in der Lage fühlt das möglichst unmathematisch und dennoch verständlich zu erklären wäre ich überaus dankbar.

Aus der Schulzeit bin ich leider raus, einen Mathelehrer kann ich also nicht fragen.

Antwort
von Orsovai, 64

Ich versuchs mal ;-)

Das Jahr hat (Schaltjahre berücksichtige ich nicht) 365 Tage. Eine Person kann an 365 verschiedenen Tagen Geburtstag haben.

Für zwei Personen gibt es viel mehr Möglichkeiten. Der eine kann an Tag 1 haben, der andere auch, oder der eine an Tag 1 und der andere an Tag 2. Oder der eine an Tag 2 und der andere an Tag 3 usw. Insgesamt ergeben sich für zwei Personen 365^2 Möglichkeiten, wie deren Geburtstage zueinander stehen können.

Analog gibt es für n Personen 365^n Möglichkeiten, wie deren Geburtstage zueinander stehen können.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass keiner am gleichen Tag Geburtstag hat?
Der erste hat 365 Möglichkeiten Geburtstag zu haben. Der zweite hat nur noch 364 Möglichkeiten, eine fällt weg, weil die zweite Person ja nicht am gleichen Tag wie der erste Geburtstag haben darf. Der dritte hat noch 363 Möglichkeiten (alle Möglichkeiten -1 Tag für den Geburtstag der ersten Person und - 1 Tag für den der Zweiten). Usw...
Insgesamt gibt es 365*364*363*...*(365-(n-1)), wobei n immer noch die Anzahl Personen ist.

Wie groß ich jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass keine Person am gleichen Tag Geburtstag hat? Na einfach die Anzahl Möglichkeiten, dass keine Person am gleichen Tag Geburtstag hat geteilt durch die Anzahl an möglichen Geburtstagskombinationen insgesamt:

(365*364*363*...*(365-(n-1))/365^n

Das ist also die Wahrscheinlichkeit, das keine Person am gleichen Tag Geburtstag hat. Das Gegenereignis hierzu ist NICHT, dass alle Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, sondern, dass mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben. Diese Wahrscheinlichkeit ist einfach
1-"Wahrscheinlichkeit, dass keine Person am gleichen Tag Geburtstag hat"

Nennen wir diesen Ausdruck mal P. Denke daran, dass hier immer noch die Anzahl n vorkommt. Jetzt sei P>0,5 und man löst nach n auf --> Das Paradoxe Ergebnis.

Und genau, weil es so unintuitiv ist und Du Dich so darüber wunderst, trägt das Ganze den Namen Geburtstagsparadoxon ;-)

Liebe Grüße!

Kommentar von Hrajin ,

Ich danke auch dir.
Deine Rechnung sieht stimmig aus und scheint auch Sinn zu machen.
Die Rechenschritte sind alle verständlich, auch wie man auf das Ergebnis und den Umkehrschluss kommt. Danke dafür.

Dennoch mag es irgendwie nicht in meinen Kopf gehen.
Auch wenn die Frage wahrscheinlich klar mit einem Nein zu beantworten ist: Kann es sein, dass diese Wahrscheinlichkeitsrechnung ein reines mathematisches Konstrukt ist und nicht die realität wiedergibt?

Ich habe es zum Spaß jetzt mal mit 7 Tagen und 3 Personen ausgerechnet. (Sozusagen das Jahr hätte nur 7 Tage.. oder sagen wir einfach es geht um den Wochentag an dem man geboren wurde)

Hier komme ich mit deiner rechnung (7*6*5 / 7*7*7) auf ca 0,6.
Sprich es wäre eine 60% wahrscheinlichkeit, dass von diesen 3 Personen keine am gleichen Tag geburtstag hat, also 40% dass zwei sich einen Geburtstag teilen.

Wie kann es dann sein, dass bei einer wesentlich größeren Tagesanzahl im vergleich zu einer mimimal höheren Personenzahl (beides auch prozentual) das ergebnis sogar besser ist?
Kannst du mir das erklären? :(

Antwort
von iokii, 64

Wenn du einen Menschen hast, ist die Wahrscheinlichkeit 0, dass 2 am selben Tag Geburtstag haben. Wenn du 2 hast, ist die Wahrscheinlichkeit 1/365, immer noch recht niedrig. Wenn die ersten beiden an verschiedenen Tagen Geburtstag haben, und noch ein Dritter dazu kommt, ist die Wahrscheinlichkeit schon 2/365. Das geht dann immer so weiter, und wenn der letzte dazu kommt, ist die Wahrscheinlichkeit ungefähr 8%. Du hast also 23 "Chancen", mit bis zu 8% Wahrscheinlichkeit, alle zusammen könnten dann ja ungefähr 50% sein.

Kommentar von Hrajin ,

Auch hier fehlen mir wieder Schritte zum Verständnis.
1/365, logisch, 2/365, logisch..
Plötzlich kommt irgendwoher 8% und dann 50%.
Kannst du deine Zwischengedanken formulieren?

(Nicht böse gemeint) aber kennst du dich damit aus? "könnten dann ja ungefähr... sein" klingt nicht sonderlich sicher.

Antwort
von Melvissimo, 60

Wir können mal die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen. Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den 23 Leuten keine 2 am selben Tag Geburtstag haben.

Nehmen wir Person 1 heraus. Diese hat mit 100%iger Wahrscheinlichkeit einen Geburtstag (solch merkwürdige Aussagen treffen auch nur Mathematiker...)

Ok, die Wahrscheinlichkeit, dass Person 2 nicht am selben Tag Geburtstag hat wie Person 1 ist gerade 364/365, denn 364 der 365 Tage sind nicht der Geburtstag von Person 1.

Die Wkeit, dass der Geburtstag von Person 3 nicht zusammenfällt mit einer der beiden obigen Geburtstage ist analog 363/365.

Ok, wenn wir immer so weitermachen, erhalten wir die Gesamtwahrscheinlichkeit:

365/365 * 364/365 * 363/365 * ... * 343/365 ~ 49,27%

Insbesondere muss die Wahrscheinlichkeit, dass 2 Leute am selben Tag Geburtstag haben, ungefähr 50,73% sein.

Kommentar von Hrajin ,

Soweit alles ganz logisch, nur am Schritt

"343/365 ~ 49,27%"
Scheitert es bei mir.
Wie kommst du von 343/365 auf die 49,27%?

Kommentar von Melvissimo ,

Ich komme nicht von 343/365 auf 49,27%, sondern vom Produkt

365/365 * 364/365 * 363/365 * ... * 343/365

Mit den Sternen meine ich das "Mal"-Zeichen, also die Multiplikation. Wenn ich diese 23 Faktoren miteinander multipliziere, kommt etwa 0,4927 heraus, also 49,27%.

Kommentar von Hrajin ,

Dumm von mir, ja das macht durchaus Sinn dann.
Okay und man mulipliziert weil hier jede Person mit jeder Person möglich ist, richtig?
Mathematisch versteh ich das zwar jetzt, aber irgendwie will es immer noch nicht in meinen Kopf gehen, dass das in der Realität wirklich so ist :)
Danke dennoch!

Kommentar von Melvissimo ,

Man multipliziert die, weil es das mathematische Konstrukt der "bedingten Wahrscheinlichkeit" erlaubt. Ich habe es oben der Einfachheit halber ein wenig unsauber formuliert. Eigentlich hätte ich z.B. im 4ten Abschnitt sagen sollen:

"Wenn die ersten beiden Personen unterschiedliche Geburtstage haben, dann ist die Wkeit, dass die dritte Person sich keinen Geburtstag mit den beiden teilt, gerade 363/365".

Wenn die ersten beiden nämlich einen gemeinsamen Geburtstag haben, wäre die Wkeit sogar 364/365. 

Daher ist diese 363/365 nur unter einer bestimmten Bedingung richtig. Und die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit impliziert, dass das Endergebnis gerade das oben genannte Produkt ist.

Leider ist es mir nicht möglich, das einfacher zu erklären - Wahrscheinlichkeitstheorie ist nicht gerade mein Spezialgebiet.

Kommentar von Amago ,

Es geht ja nicht nur um 343/365, sondern um:

365/365 * 364/365 * 363/365 * ... * 343/365

Also es kommt ja immer eine Person dazu, bei der die Wahrscheinlichkeit an einem anderen Tag Geburtstag zu haben immer ein bisschen geringer wird.. 

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community