Wenn ich beispielsweise ein Fahrrad repariere und der Besitzer des Fahrrads eine Quittung haben möchte; kann ich dann einfach eine schreiben? Bin 17 und noch Schüler.

Quittieren kannst Du alles. Ob es Rechtskräftig ist, ist eine andere Frage.

Ja.
Eine Quittung bescheinigt ja nur, daß Du die entsprechende Summe erhalten hast.

Du kriegst in jedem Schreibwarengeschäft einen Quittungsblock.

Kein Problem - auch wenn es ungewöhnlich ist, für eine Fahradreparatur eine Quittung zu verlangen

Selbstverständlich kannst Du eine Quittung schreiben, wenn Du Geld erhalten hast.
Allerdings musst damit rechnen, dass der Empfänger diese vielleicht mit seiner Steuererklärung einreicht und das Finanzamt dann prüft, ob Du die Einnahmen auch versteuert hast - das dürfte aber für einen Schüler wohl kein Problem sein.
Natürlich ist die rechtskräftig, solange nicht unberechtigt Umsatzsteuer draufsteht. Ist ja nur die Bestätigung, Geld für etwas erhalten zu haben.