Frage von ZyrranM, 59

Kann ich für Konvergenz wie folgt argumentieren?

Hallo,

ich habe eine Frage zur Konvergenz von Reihen.

Ich habe folgende (Teil-)Aufgabe:

Seien (a_n) und (b_n) beschränkte Folgen.

Sei E(a_n) die bedingt konvergente Reihe zu (a_n) (das E soll die Summe darstellen von n=1 bis unendlich). Geben Sie ein Beispiel an, für das die Reihe E((a_n)(b_n)) nicht konvergent, wenn (b_n) nicht monoton ist.

Kann ich dann mit dem Riemannschen Umordnungssatz argumentieren?

Wenn (b_n)=(-1)^n, so ist (a_n)(b_n)=(a_n)(-1)^n.

Da a_n bedingt konvergent sein soll, kann ich doch jetzt mit dem Riemannschen Umordnungssatz eine Umordnung finden die gegen unendlich divergiert.

Wäre damit ein Beispiel gefunden, nämlich (b_n)=(-1)^n

Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen :)

LG

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Melvissimo, 30

Wenn ich das richtig sehe, willst du den Riemannschen Umordnungssatz auf die Reihe E(a_n * (-1)^n) anwenden. Aber es gibt keinen Grund, aus dem diese Reihe bedingt konvergent sein sollte! Daher ist der Satz eventuell gar nicht anwendbar.

Schlimmer: Wenn die Reihe tatsächlich bedingt konvergent ist, ist sie insbesondere konvergent und dein b_n wäre kein Gegenbeispiel.

Allerdings sollte dein b_n funktionieren, falls a_n die alternierende harmonische Reihe ist.

Kommentar von ZyrranM ,

Danke für die Antwort, das Problem ist: Ich weiß nichts über die Folge a_n, außer das die entsprechende Reihe konvergiert.

Kommentar von Melvissimo ,

Musst du denn wirklich für eine beliebige Folge a_n ein Gegenbeispiel finden oder kannst du dir für das Gegenbeispiel nicht vielleicht auch a_n aussuchen? Im zweiten Fall hättest du die Aufgabe ja zusammen mit obiger Antwort gelöst.

Kommentar von Mikkey ,

Nimm halt b(n) = Signum(a(n))

Antwort
von Mikkey, 33

war Stuss, bitte ignorieren!

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