Frage von Anonymus1709, 22

Kann ich bei gebrochen rationalen Funktion immer die waagerechten Asymptoten berechnen, indem ich eine positive sehr hohe Zahl eingebe?

Oder muss ich auch mal negative Zahlen einsetzten oder gibt es generell Ausnahmen? Tausend dank

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Schule, 12

Hallo,

Du mußt eine Grenzwertberechnung durchführen, die auch ohne eine konkrete Zahl funktioniert. Du mußt die Funktion in eine solche Form bringen, in der eindeutig abgelesen werden kann, welchen Grenzwert sie für x gegen plus oder minus unendlich annimmt. Oft geht das durch eine Polynomdivision, in der ein Restbruch mit x im Nenner bleibt, der für x gegen unendlich Null wird. 

Beispiel:

f(x)=(x²+3x-2)/(x+1)

Nach Polynomdivision erhältst Du f(x)=x+2+4/(x+1)

Für x gegen unendlich wird 4/(x+1) Null und es bleibt x+2 übrig.

y=x+2 ist die Gerade, der sich die Funktion im Unendlichen annähert.  In diesem Fall hast Du es sogar mit einer schrägen Asymptote zu tun.

An der ursprünglichen Funktion dagegen kannst Du das Verhalten des Graphen für x gegen unendlich nicht ablesen. Einfach nur hohe Zahlen für x einzusetzen bringt nichts.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Anonymus1709 ,

aber wieso Polynomdivision, die Nacht. man doch nur bei x hoch 3

Kommentar von Willy1729 ,

Da verwechselst Du etwas. Wir sind hier nicht bei der Nullstellensuche, bei welcher - hast Du es mit einer ganzrationalen Funktion dritten Grades zu tun, in der Schule eine Nullstelle geraten wird, dann durch (x-Nullstelle) geteilt und so eine Funktion zweiten Grades entsteht, von der die restlichen Nullstellen berechnet werden können.

Hier aber geht es um eine Grenzwertbestimmung - das ist etwas ganz anderes.

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 5

Die waagerechte Asymptote ist ja für plus- und minus-unendlich gleich. Daher reicht das Einsetzen einer hohen positiven Zahl. Es geht aber auch ohne für alle x große Zahlen einzusetzen:

Eine waagerechte Asymptote hast Du immer, wenn der Zählergrad kleiner oder gleich dem Nennergrad ist.

Ist der Zählergrad kleiner, dann ist die waagerechte Asymptote immer Null, weil der Nenner schneller anwächst als der Zähler, d. h. der Bruch wird immer kleiner. Betrachtest Du die Grenzwerte für Zähler und Nenner einzeln, erkennst Du an dem Vorzeichen des Bruches, ob es von oberhalb oder unterhalb der x-Achse Richtung Null geht.
Beispiel: f(x)=(-2x²-3x+5)/(x³+7)
Da der Zählergrad (=2) kleiner als der Nennergrad (=3) ist, ist der Grenzwert für plus-/minus-unendlich (die waagerechte Asymptote) gleich 0.
Für x->plus-unendlich erhälst Du (Zähler u. Nenner einzeln betrachtet):
minus-unendlich durch plus-unendlich, ergibt minus-unendlich, d. h. der Graph läuft nach rechts unterhalb der x-Achse Richtung Null.
Für x->minus-unendlich erhälst Du: minus-unendlich durch minus-unendlich, und das ergibt plus-unendlich (minus durch minus=plus), d. h. der Graph läuft nach links oberhalb der x-Achse Richtung Null.

Sind Zählergrad und Nennergrad gleich, dann ergeben die Koeffizienten der höchsten Grade die waagerechte Asymptote.
Beispiel: f(x)=(4x³-7x²+5)/(-3x³+400)
=> waagerechte Asymptote ist bei -4/3.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 10

waagerechte Asympt. hast du nur, wenn der höchste Exponent im Zähler und Nenner gleich ist; und dann teilst du nur die Koeffizienten durcheinander.

Antwort
von DinoMath, 15

kommt drauf an ob du die Asymptote gegen +oo oder -oo haben magst.

Denke mal beides.

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