Frage von dreamerdk, 33

Kann eine zeitvariante Differentialgleichung denn immer als inhomogen angesehen werden?

also ich habe verschiedene Differentialgleichungen kenngelernt

z.B.

  dx/dt = f(t,x(t),u(t))    zeitvariant

   dx/dt= f(x(t))      homogen, zeitinvariant

   dx/dt= f(x(t),u(t)) inhomogen, zeitinvariant

   x= Zustandsgröße   u=Eingangsgröße

jetzt habe ich in einer Aufgabe eine DGL:

dx/dt= t-x(t)

aber die wird in der Musterlösung bei der Lösung wie eine inhomogene zeitinvariante behandelt, obwohl sie doch eigentlich direkt von der Zeit t abhängt und in dem Sinne keine Eingangsgröße u hat, oder? Demnach gilt der selbe Lösungsansatz wie für dx/dt= Ax(t)+ Bu(t) Warum ist das so?

Antwort
von PhotonX, 12

Eine inhomogene zeitinvariante DGL ist ein Spezialfall einer zeitvarianten. Wenn man die Zeitabhängigkeit als einen additiven Term (Inhomogenität oder Eingangsgröße) schreiben kann, dann kann man die DGL als inhomogene zeitinvariante DGL betrachten.

Beispiel:

x'=x+t ist eine inhomogene zeitinvariante DGL mit der Inhomogenität u(t)=t.

x'=x*t ist eine zeitvariante DGL, weil man die Zeitabhängigkeit nicht als additiven Term schreiben kann.

Antwort
von Joochen, 11

Du kannst hier schreiben u(t) = t.  Die Lösung der inhom. Gl. ist x(t) = a*e^(-t). Die kennst Du wahrscheinlich.  Eine spez. Lsg. der inh. Gl. ist offenbar             x(t) = t-1, wie Du bestätigst.

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