Frage von xpaul276x, 52

Kann ein Graph mit den Nullstellen -1,1,2 Und dem Grad 3 Punktsymetrisch sein?

Antwort
von Schachpapa, 22

In der Schule ist mit "punktsymmetrisch" oft "punktsymmetrisch zum Ursprung" gemeint. Das ist genau dann der Fall, wenn das Polynom nur ungerade Exponenten hat, also f(x) = ax^3 + bx. Dann ist eine Nullstelle bei x=0 und die anderen beiden sind +- wurzel(-b/a).

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 13

Punktsymmetrie ist bei Parabeln 3. Grades in schulischen Kurvendiskussionen nur gegeben, wenn eine Nullstelle der Ursprung ist. Die anderen beiden dürfen sich im Betrag des x-Wertes nicht unterscheiden, sofern überhaupt vorhanden.

Antwort
von surbahar53, 37

Polynome 3-ten Grades sind punktsymmetrisch zu deren Wendepunkt w.

Es gilt dann  f(w + x) = -f(w - x).

Für das gegebene Polynom f(x)=(x-1) * (x+1) * (x-2) also den Wendepunkt bestimmen.

Antwort
von DeeDee07, 40

Ja, z.B. f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2

Kannst du hier auch überprüfen https://rechneronline.de/funktionsgraphen/

Antwort
von gilgamesch4711, 4

 Dieser Editor ist echt unerträglich -schon wieder abgestürzt.

   Dies Teil 3, der sich auf Teil 2 bezieht; hier kennste den?

   " Was sagt uns das? Nichts.

    Und was haben wir davon? Wieder nichts ... "

   Für den Sonderfall kubischer Polynome lautet ( 2.3b )

   f  (  w  )  =  1/2  [  f  (  w  +  h  )  +  f  (  w  -  h  )  ]    (  3.1a  )

  
Und jetzt schnappt die Falle zu; und alle meine Gegner, die da unken, das habe keine Anwendung in der Schule. Die haben Unrecht. Denn so bald eine Funktion 3. Grades ein ( lokales ) MAXIMUM besitzt, muss sie notwendiger Weise Spiegel symmetrisch zu dem WP auch ein Minimum besitzen:

  ( x / y ) ( w ) = 1/2 [ ( x / y ) ( max ) + ( x / y ) ( min ) ]   (  3.1b  )

  
Hauptanwendungsgebiet  sind diese ===> Steckbriefaufgaben; häufig könnt ihr wie beim Schach, Go oder Sudoku versteckte Infos ausschlachten, von denen euer Lehrer gar nicht will, dass ihr sie kennt.
Drei kritische Punkte; Minimum, Maximum und WP . Habt  ihr zwei, so istgemäß ( 3.1b ) auch immer der dritte bekannt.

   Der Tricks sind ja viele; hier nur der wichtigste. Gegeben seien ( x / y ) ( w ) so wie ( x / y ) ( max ) . Jetzt rechnet ihr wie blöd mit einem gekoppelten LGS mit 4 Unbekannten - so zu Mindest wird das von euch erwartet ( Zähl ruhig selber nochmal nach. )

   Aus ( 3.1b ) schnitzt du dir x ( min ) und hast mit einem Schlag BEIDE Nullstellen von f ' ( x ) Alles was noch zu tun bleibt: ===> Aufleiten ( Wer in eine Schulaufgabe mehr wie zwei Unbekannte investiert, lebt verkehrt; die beiden ( bekannten ) Nullstellen sparen dir ja gerade 2 von 4 Unbekannten ein. )

Antwort
von gilgamesch4711, 5

  Schon wieder abgestürzt; der nervt mich ohne Ende.

  Folgende Ergänzung meiner Antwort Teil 2 . Ich beziehe mich im
Folgenden auf Teil 1 . Ich lese grade die hoch spannende Antwort von Surabaya.

   Zunächst mal ist es umständlich, den WP eines
Polynoms 3. Grades über seine 2. Ableitung bestimmen zu wollen. Wieder für FRS; du gehst immer aus von seiner Normalform

   f  (  x  )  :=  x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0    (  2.1a  )

    Dann gilt

     x  (  w  )  =  -  1/3  a2     (  2.1b  )

  
Auch Schachpapa ist suboptimal; dass ihr ( 2.1b ) nicht in der Schule lernt, ist zu DEINEM Nachteil. Bei deinem Beispielpolynom kriegst du a2 über den Satz von Vieta

   a2 = - ( x1 + x2 + x3 ) = ( - 2 ) ===> x ( w ) = 2/3    (  2.2  )  

  
Die Formel von Surabaya für ( ungerade ) Punktsymmetrie ist allerdings falsch. Nimm einmal ( bei einer beliebigen Funktion ) an, du hast Punktsymmetrie gegen P0

     P0  (  x0  |  y0  )  ;  y0  =  f  (  x0  )         (  2.3a  )

      ( 2.3a ) führt auf eine Mittelwertbeziehung

  (V)  h  |  y0  =  1/2  [  f  (  x0  -  h  )  +  f  (  x0  +  h  )  ]   (  2.3b  )

  ( Das eingeklammerte V soll der ===> Allquantor sein. )

   Vergleiche ( 2.3b )  mit der ( geraden ) Achsensymmetrie gegen die ( vertikale ) Gerade x = x0

        f  (  x0  -  h  )  =  f  (  x0  +  h  )     (  2.3c  )

  
So ist z.B. sehr erfreulich: Ihr alle wisst, dass jede Parabel Achsen symmetrisch gegen ihren Scheitel verläuft. In ( 2.3c ) FEHLT im Gegensatz zu ( 2.3b ) jeder explizite Bezug auf y0 . Im Gegentum zu dem,was Surabaya behauptet, bezieht sich Punktsymmetrie nämlich NICHT auf das Koordinatensystem, sondern auf die INNERE Symmetrie des Grafen.  Ich
rechne grad noch f ( w ) nach mit ( 2.2 ) ; und dann folgt noch ein
Teil 3 , weil längere Texte hier Regel mäßig abstürzen.

   f ( w ) = ( 2/3 - 1 ) ( 2/3 + 1 ) ( 2/3 - 2 ) =  20/27   (  2.4  )

Antwort
von gilgamesch4711, 11

   Ich predige ja tauben Ohren. Und eure Lehrer verkaufen euch für Dumm.

  Für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )

  " ALLE kubistischen Polynome verlaufen Punkt symmetrisch gegen ihren WP . "

Kommentar von Willy1729 ,

Punktsymmetrisch wird in der Schule oft mit ungerade gleichgestellt.

Während Punktsymmetrie aber Symmetrie zu einem beliebigen Punkt, bei Polynomfunktionen dritten Grades zum Wendepunkt, ist, bedeutet 'ungerade' Punktsymmetrie zum Ursprung.

Vorliegende Funktion ist punktsymmetrisch zu (2/3|20/27).

So gilt:

f(2*2/3-x)-2*20/27=-f(x),

was sich leicht nachprüfen läßt, wenn anstatt x der Term 4/3-x in f(x) eingesetzt wird und am Ende 40/27 subtrahiert.

In 'Kusch', Band 3 findet man die entsprechenden Erläuterungen.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von gilgamesch4711 ,

  Lieber Willy; ich kenne das vom Internet. Die Herrschaften bleiben weit hinter dem zurück, was hier zu tun ist. So fand ich ein Portal, wo diese Symmetrie voll verkrampft elementar nachgeprüft wurde ...

   Das Zauberwort lautet hier schlicht Taylorentwicklung:

   f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h f ' ( x0 ) + 1/2 h ² f " ( x0 ) + a3 h ³    ( 4.1a )

    Für WP verschwindet der Term mit der 2. Ableitung

  f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + h f ' ( x0 ) + a3 h ³    ( 4.1b )

   Um ungerade Symmetrie zu erreichen, musst du nur noch den Offset so wählen, dass f ( x0 ) = 0 . Diejenige Darstellung, bei welcher der WP auf die Abszisse fällt, bezeichne ich als natürliche Darstellung ( ND ) des Polynoms.

   Der Witz an der Sache; wir tun uns doch immer so schwer mit den Nullstellen eines kubischen Polynoms. Die innere Symmetrie der Kurve ist eben nicht die des Koordinatenkreuzes. In ND

       x  (  w  )  =  x2       (  4.2a  )  

     wird nämlich alles elementar lösbar

      x3  -  x2  =  [  x  (  min  )  -  x2  ]  sqr  (  3  )   (  4.2b  )

   Um dir einmal den grotesken Grad an Unkenntnis zu vergegenwärtigen. Es gibt da ein kubistisches Polynom mit nummerisch FEST VORGEGEBENEN KONSTANTEN Koeffizienten, wo die Schüler beweisen sollen, dass Minimum, Maximum und WP auf einer Geraden liegen.

   " Hiiilfe !!! Ich weiß nicht, wie man das macht. "

    Das wäre so, als wolltest du sagen

   " Beweisen Sie, dass das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck eine Winkelsumme von 180 ° C hat ... "

 Entweder bin ICH sehr genial; oder  alle anderen sind dumm. Denn abgesehen von meiner Wenigkeit habe ich bis Heute noch nie eine Antwort gelesen, die auf die Existenz dieser Spiegelsymmetrie verwiesen hätte; dass  die in Rede stehende Behauptung nämnlich für beliebige Grafen 3. Grades gilt.

   aus dem Verhalten der User zu schließen, wurde meine Antwort auch stets ignoriert. Weil, wenn die Schüler auf einmal zu schlau  sind, raus kommt, dass sie ihre Hausaufgaben im Internet abschreiben ...

   Bis Heute suche ich übrigens vergebens nach einem Adjektiv, das den Charakter dieser ignoranten Schüler beschreibt. Dem Lehrer etwas vorsätzlich verheimlichen aus Angst sowohl vor dem Lehrer als auch aus Angst, vor den Kumpels auf einmal als Streber dazustehen.

Kommentar von gilgamesch4711 ,

  Häufig schreibe ich auch

   " Alle Polynome 3. Grades singen immer wieder  die selbe Melodie. "

   Nur einmal antwortetete mir ein User

  " Dann nimm bitte zur Kenntnis, dass die Herren Lehrer diese Melodie nicht hören wollen ... "

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