Frage von user21011982, 126

Kann die Temperaturdifferenz zweier Körper beliebig kleine Werte annehmen?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Hamburger02, Community-Experte für Physik, 64

Finde es gut, dass du den Dingen so hartnäckig auf den Grund gehst. Das tue ich auch und hab deshalb noch einmal auf diesem Problem rumgedacht.

Erstes Ergebnis: die Quantenmechanik spielt in der Herleitung der Temperatur keine Rolle. Damit ist das ein thermodynamisches Problem und daher meines.
Aus Sicht der Thermodynamik stellt sich das so dar:

1. Empirische Temperatur.
Die empirische Temperatur misst man dadurch, dass man ein Thermometer mit dem Messobjekt (hier Wasser) ins thermodynamische Gleichgewicht bringt und dann die Temperatur abliest. Hierzulande geschieht das in der Regel mit einem Celsiusthermometer. Hier gibt die Messgenauigkeit des Thermometers die kleinste Temperaturdifferenz vor. Alles unter der Empfindlichkeit des Thermometers gilt dann als gleiche Temperatur. Diese Temperatur ist in endlicher Zeit erreichbar.

2. Thermodynamische oder absolute Temperatur.
Die absolute Temperatur T (in Kelvin) wird über die Entropie S definiert:
T = Qrev / ∆S

Die Entropie hat Ludwig Boltzmann statistisch hergeleitet:
Dazu wendete Boltzmann das Gesetz der großen Zahl an. Das geht davon aus, dass ab einer bestimmten Anzahl von Teilchen sich deren Unterschiede statistisch ausgleichen, sodass man auf der Makroebene einen konstanten Wert messen kann. Als Mindestanzahl geht Boltzmann von 1 mol aus, also etwa 6* 10^23 Teilchen.

Die Temperatur ist ein messbarer Parameter der inneren Energie U. Die innere Energie U setzt sich aus der thermischen Energie, also der  Summe der kinetischen Energien der Teilchen sowie der potentiellen Energie zwischen den Teilchen zusammen.
Bei einem idealen Gas kann man die potentiellen Energien fast vernachlässigen, bei Wasser nicht, da wir da die Wasserstoffbrückenbindungen haben.

Gehen wir mal der Einfachheit halber davon aus, die innere Energie sei gleich der thermischen Energie, weil wir die potentielle Energie der Teilchen vernachlässigen. Dann gilt:
∆U = ∆Eth = ∆ ∑Ekin der Teilchen
Da ∆T proportional zu ∆ ∑Ekin der Teilchen ist, müssen wir also betrachten, ob Eth gequantelt oder kontinuierlich ist.

Aus ∆Eth = ∆ ∑Ekin der Teilchen folgt, dass die minimale Temperturdifferenz davon abhängt, ob Eth sich diskret oder kontinueirlich ändert. Dazu denken wir, dass alle Teilchen ihre Ekin beibehalten und sich nur 1 Teilchen ändert. Die Ekin dieses einzelnen Teilchens ist abhängig von dessen Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeitsänderung kann aber gegen 0 streben. Da haben wir keine Begrenzung durch das Plancksche Wirkungsquantum h. Wenn aber die Geschwindigkleitsänderung eines einzelnen Teilchens gegen 0 streben kann, kann auch ∆Eth gegen Null gehen und damit auch ∆T.

Die Kurve für die Erwärmung des Wassers ist daher stetig und differenzierbar und strebt gegen die waagrechte Asymptote bei 20°C.

Nur zur Erinnerung: das ganze beruht auf dem Gesetz der großen Zahl. Sobald man nur einzelne Teilchen betrachtet, gelangt man in die Quantenwelt, aber dann gilt die statistische Herleitung der Temperatur nicht mehr. Daher kann man für einzelne Teilchen auch keine Temperatur angeben.



Kommentar von user21011982 ,

Erst mal vielen Dank für Deine Mühe! Freut mich, dass jemand mitarbeitet. 

Allerdings stellt sich mir immer noch die Frage, ob ΔE_kin bzw. Δv nicht doch über die Planck-Einheiten gequantelt sind. 

Dazu folgende Überlegung: Möchte ich die Geschwindigkeit eines Körpers verändern, dann kann ich das doch nur tun, indem ich Strecke und/oder Zeit in ihrem Betrag um die entsprechenden Planck-Einheiten verändere. Kleinere Schritte sind soweit ich weiß nicht möglich. Lege ich also eine Planck-Länge in einer bestimmten Zeit zurück und möchte die Geschwindigkeit kleinstmöglich verringern, dann geht das nur, indem ich für die gleiche Strecke (weniger geht ja nicht) mehr Zeit aufwende. Und dieses Mehr kann minimal eine Planck-Zeit sein.  

 

 

Kommentar von Hamburger02 ,

Das sind gute Überlegungen, mit denen du auf jeden Fall deinen Lehrer konfrontieren solltest, wenn er auf unendlich hinaus will, denn unendlich setzt voraus, dass keine Quantelung erfolgt und ∆T gegen 0 streben darf.

Wie schon gesagt, Quantenmechnik ist ein weitgehend blinder Fleck in meinem Wissen, sodass ich das nicht beurteilen möchte.

Was mir noch nicht klar ist, ob die Herleitung der Temperatur über das Gesetz der großen Zahl evtl. im Widerspruch zu einer Betrachtung auf Quantenebene steht oder nicht. Da muss ich noch drauf rumdenken.


Kommentar von user21011982 ,

Nun gut. Danke für die Unterstützung. Auch wenn es nicht abschließend geklärt werden konnte. 

Meinen Lehrer werde ich damit aber wohl nicht mehr konfrontieren können. Bin schon ein Weilchen aus der Schule raus. ;)

Kann aber eventuell einen meiner Noch-Profs fragen. Der sollte das definitiv wissen. 

Kommentar von Hamburger02 ,

Da mich diese Frage selber interessiert, lässt sie mir keine Ruhe. Inzwischen weiß ich, dass du mit deinen Überlegungen recht hast, h spielt doch eine Rolle.

In der klassischen Physik bzw. Thermodynamik, die ich gelernt habe, gilt für die Herleitung der Temperatur u.a. das Gesetz von Dulong-Petit. Dieses sagt aus: Ekin = 1/2 * kB * T. Hier ist keine Quantelung vorgesehen. 

Anbei 2 Zitate aus verschiedenen wiki-Artikeln dazu:

"Trotz seiner Einfachheit macht das Dulong-Petit-Gesetz relativ gute Voraussagen für die spezifische Wärmekapazität von Feststoffen mit einfacher Kristallstruktur bei hinreichend hohen Temperaturen (z. B. bei Raumtemperatur).
In Bereichen niedriger Temperaturen weicht es zunehmend von den experimentellen Befunden ab. Da die Gitterschwingungen quantisiert sind, können sie pro Freiheitsgrad nur Energiequanten der Größe h · ν aufnehmen (h: Plancksches Wirkungsquantum, ν: Schwingungsfrequenz). Insbesondere ist mindestens die Energie 1·hν pro Freiheitsgrad nötig, um die Schwingung überhaupt anzuregen. Ist die zur Verfügung stehende thermische Energie kT zu gering, so werden einige Freiheitsgrade gar nicht angeregt und können nicht durch Energieaufnahme zur Wärmekapazität beitragen."

"Die Quantisierung der Schwingungsenergie war für Albert Einstein 1907 auch der Schlüssel zur Erklärung eines weiteren unverstandenen Phänomens, der Abnahme der spezifischen Wärme fester Körper zu niedrigen Temperaturen hin. Bei höheren Temperaturen hingegen stimmten die Messwerte meist gut mit dem von Dulong-Petit nach der klassischen Physik vorhergesagten Wert überein. Einstein nahm an, dass die Wärmeenergie im festen Körper in Form von Schwingungen der Atome um ihre Ruhelage vorliegt, und dass auch diese rein mechanische Art von Schwingungen nur in Energiestufen  ∆E = h * f angeregt werden kann. Da die im thermischen Gleichgewicht zwischen den einzelnen Atomen fluktuierenden Energiemengen von der Größenordnung  kB * T sind, ergab sich die Möglichkeit, zwischen „hohen“ Temperaturen (kB * T > h * f) und „tiefen“ Temperaturen (kB * T < h * f) zu unterscheiden. Dann hat die Quantelung bei hohen Temperaturen keine sichtbaren Auswirkungen, während sie bei tiefen Temperaturen die Aufnahme von Wärmeenergie behindert. Die Formel, die Einstein aus dieser Vorstellung heraus ableiten konnte, passte (nach geeigneter Festlegung von f für jeden Festkörper) ausgezeichnet zu den damaligen gemessenen Daten. Trotzdem wurde lange weiter bezweifelt, dass die Plancksche Konstante nicht nur für elektromagnetische Wellen, sondern auch im Bereich der Mechanik wichtig sein könnte."

Kommentar von Hamburger02 ,

So, und nun habe ich auch noch mal gerechnet, das macht immer am meisten Spass:



Kommentar von Hamburger02 ,

Die minimal mögliche übertragbare Energie beträgt:
∆Emin = kB * T
kB = Boltzmannkonstante = 1,38 * 10^-23
T = 20 °C = 293,15 K

∆Emin = 1,38 * 293,15 * 10^-23 J = 404,5 * 10^-23 J

Annahme: 1 kg Wasser
spez. Wärmekapazität Wasser bei 20°C= 4,182 kJ/ (kg * K)

Erwärmung des Wassers:
∆U = ∆E = m * c * ∆T
∆Tmin = ∆Emin / (m * c) = 404,5 * 10^-23 J / ( 1 kg * 4,182 kJ/(kg * K) )
= 96,7 * 10^-26 K
Wir haben also eine minimale Tempdifferenz von 96,7 * 10^-26 K, bis zu der ein Wärmeübergang stattfindet. Bei kleineren Temp.differenzen passiert wegen der Quantelung nichts mehr.

Nun können wir die Zeit bis zu dieser minimalen Temp.differenz berechnen.

Erwärmungsformel:
t = 1/k * ln((T1 - T) / T2 - T))
k ist die Erwärmunsgkonstante, die sich aus den früher erörterten Faktoren ergibt. Da nehme ich eine Konstante von k = 0,5 h^-1 an. Das ist eine realistische Konstante bei der Erwärmung/Abkühlung eines Wasserbehälters an der Luft.
T1 = Ausgangstemp. = 3°C = 276,15 K
T = gemessene Temp. zum beliebigen Zeitpunkt t.
T2 = Endtemperatur.

Das vereinfachen wir:
die am Ende gemessene Temp. weicht nur um ∆Tmin von 20°C ab, sodass wir  ansetzen können:
T1 - T = 17 K
T2 - T = ∆Tmin = 96,7 * 10^-26 K

Damit ergibt sich
t = 1/k * ln((T1 - T) / T2 - T)) = 2h * ln (17 K / 96,7 * 10^-26 K) = 2h * ln(1,758 * 10^24) =  2 * 55h = 110 h

Ergebnis:
Nach etwa 110 h haben sich die Temperaturen von Wasser und Luft so stark angeglichen, dass die verbleibende Temperaturdifferenz aufgrund von h keinen weiteren Wärmeübergang mehr zulässt. Die Temperatur zu diesem Zeitpunkt beträgt
T = 293,15 K - 96,7 * 10^-26 K 

Kommentar von Hamburger02 ,

Danke fürn Stern und für diese schöne Denksportaufgabe, die mich selber weitergebracht hat.

Kommentar von user21011982 ,

Den Stern hast Du Dir redlich verdient. Muss aber noch mal darüber nachdenken, ob wir da jetzt richtig liegen. ;)

Aber das soll nicht mehr Dein Problem sein. Falls ich noch zu einem anderen Schluss gelange, gebe ich gerne bescheid. 

Kommentar von Hamburger02 ,

Ich bitte darum. Taste mich bei der Quantenbetrachtung ja auch gerade erst vor. Irrtum ist nicht ausgeschlossen. Mag das aber, durch Diskussion schlauer zu werden. Leider findet man nur selten passende Gegenparts. ;-)

Kommentar von user21011982 ,

Ich hatte diesbezüglich noch meine Physik-Prof konsultiert und nun auch eine  Antwort erhalten, in der er im Großen und Ganzen die obigen Überlegungen bestätigt. Das mathematische Modell, welches den zeitlichen Verlauf des Temperaturausgleichs als Exponentialfunktion beschreibt, greift bei sehr kleinen Temperaturdifferenzen nicht mehr, da der Phononenaustausch (gequantelte Gitter- und Molekülschwingungen) quantenmechanischen Gesetzmäßigkeiten unterliegt, weshalb es keine infinitesimalen T-Differenzen geben kann. Singularitäten seine generell mit Vorsicht zu genießen und seien oft eher mathematische Artefakte, als dass sie tatsächlich eine Entsprechung in der physikalischen Realität fänden. Für weiter Informationen hat er mich an die Literatur verwiesen. 

Wir liegen also richtig. :)

 

Kommentar von Hamburger02 ,

Na wunderbar, danke für die Info.

Kommentar von user21011982 ,

Gerne.

Antwort
von Gastnr007, 95

in der normalen Physik ja, aber in der Quantenphysik bekommst du Probleme

Antwort
von Roderic, 74

Theoretisch Ja.

Praktisch Nein.

Kommentar von user21011982 ,

Magst Du das noch etwas ausführen?

Kommentar von Roderic ,

Ich versuchs mal:

Temperatur ist eine statistische intensive Größe.

Zwei Körper haben dann die gleiche Temperatur, wenn das Strahlungsfeld zwischen ihnen im Gleichgewicht ist. Also wenn die Energie, die durch die thermische Strahlung, die von dem einen abgegeben wird und und von dem anderen aufgenommen wird, genausogroß ist wie die Energie beim umgekehrtem Fall.

Theoretisch kann man postulieren, daß die Differenz dieser beiden Energieströme beliebig klein sein kann. (nicht Null wohlgemerkt).

Praktisch müsste man eine unendliche Zeit warten, bis man überhaupt von einem Gleichgewicht reden kann.

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