Frage von Tri2016, 46

jede ganz rationale Funktion ist differenzierbar über R--- Wie beweist man das?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Saphir7014, 27

Die Ableitung einer ganzrationalen Funktion, also eines Polynoms, ist nach den Potenz-, Summen- und Faktorregeln stets auch ein Polynom. Angenommen, es gibt ein Polynom f(x), dass nicht auf ganz R differenzierbar ist. Das würde bedeuten, dass die für die Ableitungsfunktion f'(x) gilt: D_f ≠ R ; Das würde bedeuten, dass ein Polynom existiert, dessen Definitionsmenge nicht alle reellen Zahlen umfasst. Eine Definitionsmenge im reellen entsteht z.B., wenn eine Betragsfunktion verwendet wird, oder wenn im Nenner eines Bruchs 0 steht, oder wenn die Wurzel einer negativen Zahl mit geradem Wurzelexponenten genommen wird. All dies ist jedoch bei Polynomen definitionsgemäß nicht der Fall.

Deshalb ist die Ableitung eines Polynoms stets für alle reellen Zahlen definiert, also ist jede ganzrationale Funktion über R differenzierbar.

Antwort
von ReiInDerTube123, 25

Eine ganzrationale Funktion ist die Summe von Summanten, die jeweils aus einem Faktor und einer Potenz von x bestehen:

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Nun kann man die Summenregel anwenden, und die einzelnen Teile unabhängig voneinander differenzieren. Außerdem kann man zeigen, dass die Faktorregel und Potenzregel allgemein gültig sind (Jedenfalls für i >= 0). Differenziert ergibt dies:

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Kommentar von ReiInDerTube123 ,

Anscheinend werden die Formeln nicht angezeigt.

Antwort
von Melvissimo, 34

Jede ganzrationale Funktion lässt sich als polynomielle Funktion darstellen. Und solche Funktionen sind differenzierbar (die Ableitung von x^n ist nx^(n-1) für n > 0; der Rest folgt mit den Eigenschaften der Ableitung [Summenregel, Faktorregel] ).

Kommentar von Tri2016 ,

Aber das ist doch kein Beweis, oder? Warum lässt sich denn jede ganzrationale Funktion in eine polynomielle Funktion  umwandeln und warum sind die alle differenzierbar? :(

Kommentar von Melvissimo ,

Ganzrationale Funktionen sind gerade so definiert, dass sie durch Polynome darstellbar sind (lies dir mal eure Definition einer ganzrationalen Funktion und sag Bescheid, wenn ich mich irre).

Also brauchst du nur beweisen, dass Polynomfunktionen differenzierbar sind. 

Polynomfunktionen sind aber Funktionen der Form:

f(x) = ax^n + bx^(n-1) + ... + cx + d, für irgendwelche reellen Koeffizienten a,b,c,d und irgendeine natürliche Zahl n.

Die bestehen also aus ganz vielen Summanden der Form 

g(x) = ex^k.

Nun weiß man aus der Vorlesung (oder man beweist es selbst):

Wenn g1 und g2 differenzierbare Funktionen sind, dann ist auch deren Summe g1 + g2 differenzierbar. Insbesondere sind endliche Summen differenzierbarer Funktionen differenzierbar. [Das ist ein Teil der sogenannten "Summenregel"]

Es genügt also zu zeigen, dass jede dieser Teilfunktionen ex^k differenzierbar ist, denn f(x) ist ja eine endliche Summe solcher Funktionen.

Mit einem ähnlichen Argument genügt zu zeigen, dass jede Funktion der Form h(x) = x^k differenzierbar ist (das Folgt aus der "Faktorregel"). 

Und dass x^k differenzierbar ist, weißt du aus der Vorlesung oder beweist du recht simpel selbst mit der Definition von Differenzierbarkeit.

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