Frage von Crytas, 66

Ist ((Z/12Z)×, ·) isomorph zu (Z/4Z, +)?

könnte mir jemand, bei dieser Aufgabe helfen? Das Thema ist neu und ich versteh es noch nicht richtig.

Antwort
von Roach5, 10

Meine erste Antwort enthielt einige grobe Formfehler, ich habe meine eigene Frage gemeldet und hoffe, dass sie bald gelöscht wird. Hier eine bessere Antwort:

Z/4Z soll als additive Gruppe aufgefasst werden, und (Z/12Z)^x ist die Einheitengruppe des Ringes Z/12Z.

Ein Gruppenisomorphismus schickt ein Element von Ordnung n auf ein Element von Ordnung n, das zu beweisen sei dir als Übung überlassen.

Es bleibt also zu zeigen, dass Z/12Z kein Element der Ordnung 4 hat, da 1 in Z/4Z Ordnung 4 hat. Somit kann es keinen Isomorphismus geben, denn sonst würde 1 in Z/4Z auf irgendein Element von Ordnung 4 geschickt werden, dieses existiert aber nicht.

Z/12Z^x enthält die Elemente 1, 5, 7, 11, alle diese Elemente haben Ordnung 2, da 1 * 1 = 1 mod 12, 5 * 5 = 25 = 1 mod 12, 7 * 7 = 49 = 1 mod 12, 11 * 11 = 121 = 1 mod 12. Also kann es keinen Isomorphismus von Z/4Z zu Z/12Z^x.

LG

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