Frage von elia1111, 228

Ist |R^5 ein Teilraum des |C^5?

Hi, Ich habe die oben genannte Aufgabe zu erfüllen. Meine Gedanken dazu: Der imaginärteil von Komplexen Zahlen kann ja 0 sein, so dass nur noch eine reelle Zahl übrig bleibt. Also ist |R^5 ein Teilraum des |C^5 oder?

Antwort
von Melvissimo, 127

Wie iokii schon andeutet, kommt das auf denn zugrundeliegenden Körper an.

Wenn du C^5 als R-Vektorraum betrachtest, ist R^5 ein Unterraum davon.

Wenn du C^5 als C-Vektorraum betrachtest, kriegen wir beim R^5 Probleme! Ein Unterraum muss ja abgeschlossen unter Skalarmultiplikationen mit beliebigen Skalaren aus dem Grundkörper sein, also auch mit Skalaren wie der imaginären Einheit i.

Nun ist z.B. (1,0,0,0,0) in R^5, aber i * (1,0,0,0,0) = (i,0,0,0,0) ist nicht in R^5, weswegen der R^5 kein Unterraum sein kann.

Antwort
von DarkSorcy, 114

@Melvissimo:

Heißt das dann, dass es beides sein kann, je nachdem wie man es betrachtet?! das kommt mir recht unpräzise vor, für Mathematik... oder ist die allgemein gültige Antwort "kein" Teilraum, weil man C5 auch als C-Vektorraum betrachten kann??! 

Kommentar von Melvissimo ,

Das ist nicht wirklich unpräzise. Einen Vektorraum muss man streng genommen immer mit einem dazugehörigen Körper angeben. C^5 als C-Vektorraum und C^5 als R-Vektorraum sind halt als algebraische Strukturen voneinander verschieden, auch wenn sie dieselben Elemente beinhalten.

Z.B. hat C^5 als R-Vektorraum die Dimension 10, aber als C-Vektorraum nur die Dimension 5. 

Wenn du also fragst, ob R^5 ein Unterraum des C^5 ist, musst du zuerst sagen, welchen Grundkörper dein C^5 besitzt. Und für jeden festen Körper bekommst du dann eine eindeutige Antwort.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 91

Hallo,

sehe ich auch so, kann aber nicht für die Richtigkeit garantieren.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von iokii, 78

Hängt davon ab, ob du C^5 als R oder als C-Vektorraum betrachtest.

Antwort
von Roderic, 71

Was ist ein "Teilraum"?

Kommentar von elia1111 ,

Wird auch Untervektorraum genannt, falls dir das mehr sagt.

Kommentar von Roderic ,

Damit kann ich was anfangen.

Ja. das ist es.

Es gilt die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition und der Skalarmultiplikation, und

0 ist Element der Untermenge bzw die Untermenge ist nicht leer.

Kommentar von Raskolnikow21 ,

Teilraum ist ein gängiges Synonym für Untervektorraum.

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