Kann der Arbeitgeber solch einen harten Schritt gehen??
da hab ich was für dich: Surfen im Internet während der Arbeitszeit ist nach einem Urteil des Bundesarbeitsgerichtes ein Kündigungsgrund. Entscheidend sei jedoch der Umfang der privaten Nutzung und die damit vergeudete Arbeitszeit, heißt es in dem am Donnerstag in Erfurt gefällten Urteil (2 AZR 200/06).(www.handelsblatt.com)

Ja - wenn Du Dich vertraglich verpflichtet hast oder es eine Betriebsvereinbarung gibt reicht sogar eine einzige Abmahnung um Dir im Wiederholungsfall zu kündigen. Solltes Du Dir während der Arbeitszeit Pornographische oder Gewaltverherrlichende Seiten anschauen, bist Du Deinen Job sogar frislos los. Da braucht es weder eine Abmahnung noch die Einhaltung einer Kündigungsfrist.
Wenn man es nach einer Abmahnung weiter macht, darf er kündigen.

Wenn es in der Firma eine klare Regel gibt, die das private Surfen verbietet, dann kann auch beim ersten Verstoss ohne Abmahnung fristlos gekündigt werden.

Dem obigen urteil zufolge ist dies ausdrücklich OHNE vorherige Abmahnung möglich - allerdings wohl nur, wenn es sich um grobe Verstöße handelt (= Pronographie und sogar Material auf dem Rechner speichern)...

JA er darf kündigen, auch ohne vorherige Abmahnung...
steht heute auch in der Berliner Morgenpost
Dem neuen Urteil zufolge, muss noch nicht einmal zuvor ein Verbot ausgesprochen werden.