Frage von poseidon42, 32

Ist mein Weg zur Bestimmung der Monotonie einer Folge so richtig?

Ich bin momentan dabei eine Aufgabe zum Thema Folgen zu bearbeiten und da ich damit noch leichte Probleme habe, hätte ich gerne noch eine zweite Meinung zu meinem bisherigen Lösungsansatz:

a(n+1) = - 2 + ( 4 + a(n) )^(1/2) mit a(1) = -2 + (2)^(1/2)

Man soll zeigen, dass es sich bei dieser Folge um eine streng monoton steigende Nullfolge handelt. Es geht mir hier aber nur um den Teil des Monotonieverhaltens. Meine Idee wäre dies per Induktion zu beweisen:

Beh: a(n+1) > a(n) für alle n € N \ {0}

(IA) n = 1

---> A(1):

-2 + ( 4 + (- 2) + √2 )^(1/2) > - 2 + √2 || +2

√(2 + √2) > √2 || (...)²

2 + √2 > 2 || -2

√2 > 0

Dies stimmt und damit ist die Aussage A(1) für n=1 wahr.

Es gelte die Behauptung nun für ein festes aber beliebiges n.

(IS) n ---> n+1 : A(n+1):

a(n+2) > a(n+1)

-2 + ( 4 + a(n+1) )^(1/2) > - 2 + ( 4 + a(n) )^(1/2)

-2 + ( 4 + (-2 + √(4+ a(n)) )^(1/2) > - 2 + ( 4 + a(n) )^(1/2) || +2

( 4 + (-2 + √(4+ a(n)) )^(1/2) > ( 4 + a(n) )^(1/2) || (...)^2

2 + √(4+ a(n)) > 4 + a(n) || -2

√(4+ a(n)) > 2 +a(n) || (...)^2

4+ a(n) > (a(n))^2 + 4*a(n) + 4 || - (4+ a(n))

0 > (a(n))^2 + 3*a(n)

0 > ( a(n) + 3) *a(n)

Nach der Annahme der Monotonie (und der Beschränkheit durch 0, hier nicht bewiesen) gilt ja:

0 > a(n) und a(1)= -2 + √2 > (-3)

Daraus folgt also:

a(n) + 3 > 0 sowie ( a(n) + 3) *a(n) < 0 , da ja gilt 0 > a(n).

Somit gilt die Aussage nach Induktionsvoraussetzung.

Und dann der Schlusssatz ...

Wäre das so richtig, wenn nicht, was habe ich falsch gemacht? Gäbe es einen besseren Weg?

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 19

Ich habe Deinen Beweis noch nicht Schritt für Schritt sorgfältig gelesen. Mir sind aber zwei Dinge aufgefallen, die den Beweis leider zunichte machen:

Du hast an einer Stelle Deine Relation quadriert; da ist aber keine Äquivalenzumformung und auch keine gültige Folgerung, so dass Dein beweis ab diesem Schritt nicht mehr gültig ist.
[Beispiel: -5 < 3 |²   würde  25 < 9 ergeben]
Im Induktionsanfang benötigst Du das Quadrieren gar nicht, da unter der linken Wurzel bereits eine größere Zahl steht als rechts.

Und dann lese ich den Satz "Nach der Annahme der Monotonie ..." - Du sollst die Monotonie ja grad beweisen, hast sie an dieser Stelle aber (allgemein) vorausgesetzt. Dies ist keine Benutzung Deiner Induktionsvoraussetzung.

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 11

Hast Du inzwischen eine Lösung?

Ich habe mich grad noch mal an die Aufgabe gemacht. Hier mein Weg:

IA: a2 = -2 + √(4 + a1) = -2 + √(4 + (-2) + √2) = -2 + √(2 + √2) > a1,
denn 2 + √2 > 2

IS: Sei a(n+1) > a(n)
a(n+2) > a(n+1)
<=>  -2 + √(4 + a(n+1)) > -2 + √(4 + a(n))
<=>  √(4 + a(n+1)) > √(4 + a(n))
Dies gilt wegen der Induktionsvoraussetzung a(n+1) > a(n)

Das war's auch schon. :-)

Fast. Man benötigt nämlich auch, dass die Radikanden alle positiv sind. Dies folgt aber mehr oder weniger für alle Radikanden aus der Tatsache, dass -2 < a1 < 0 (gäbe eine eigene vollst. Induktion).

Das Pferd von hinten aufgezäumt könnte man (evtl. eleganter) auch dokumentieren:

a(n+1) > a(n)  =>  4 + a(n+1) > 4 + a(n)  =>  √(4 + a(n+1)) > √(4 + a(n))
=>  -2 + √(4 + a(n+1)) > -2 + √(4 + a(n))  =>  a(n+2) > a(n+)

Kommentar von poseidon42 ,

Also ich habe jetzt als Ansatz gewählt:

Ich konnte per vollständigen Induktion ohne Probleme zeigen, dass a(n) stets kleiner als ist, wobei dies aus der Grenzwertbestimmung folgte. Also in der Form:

lim (a(n+1)) = a = lim ( -2 + √(4+a(n)) = -2 + √(4 + a)

und damit ja:

a = -2 + √(4 + a) 

Aufgelöst nach a erhält man:

a = 0  oder  a = -3

Aus diesen Werten folgt also die Beschränkung durch 0, die -3 steht im Widerspruch zur Definition der Folge.

Das a(n) kleiner 0 ist, kann man nun für alle n € N\{0} mithilfe der vollständigen Induktion zeigen in der Form:

Beh.: a(n) < 0

IA) a(1) = -2 + √2  < 0  ---> A(1) ist wahr

IS) a(n+1) < 0   

-2 + √(4 + a(n)) < 0  II +2

√(4 + a(n)) < 2    

Und nach Induktionsvorschrift gilt ja: a(n) < 0 

----> 4 + a(n) < 4 

----->√(4 + a(n)) < 2 

Und damit wäre das ja auch für A(n+1) gezeigt.

Und zu guter letzt wäre halt die Monotonie zu zeigen:

a(n+1) > a(n)

-2 + √(4 + a(n)) > a(n) II +2

√(4 + a(n)) > a(n) + 2

Jetzt gilt ja für √(4 + a(n)) wie zuvor bestimmt:

0 <= √(4 + a(n)) < 2 

Und daraus folgt dann ja:

2 > √(4 + a(n)) > a(n) + 2

2 > a(n) + 2

0 > a(n)    und das dies stimmt wurde ja schon zuvor gezeigt. 

---> a(n) ist streng monoton steigend.

Ich bedanke mich schon mal im Voraus für die Mühe, aber wie gesagt ich brauche noch viel Übung und wäre für jede Korrektur dankbar.

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