Frage von Mondcrazy, 56

Ist f''(x0) für x0 ∈ D nicht negativ definit und besitzt f ein globales Maximum in x0, dann ist f'(x0) = 0 Stimmt diese Aussage brauche Hilfe?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 56

Bei f '(x) = 0 an einer Stelle x hast du immer einen Extremwert (inkl. evtl. einen Sattelpunkt). f ''(x) entscheidet dann nur noch über die Eigenschaft (Maximum, Minimum und in gewisser Weise über Sattelpunkt).
Deine Aussage stimmt also in etwa, trifft aber nur einen Teil der Wahrheit und ist sehr kompliziert formuliert.
Fakt ist: y' = 0 ^ y'' > 0  —> Minimum
             y' = 0 ^ y'' < 0  —> Maximum
             y' = 0 ^ y'' = 0  —> Sattelpunkt

Kommentar von Mondcrazy ,

Dann hab ich immer einen Lokalen Extremwert aber nicht immer einen globalen oder?  bei den Globalen untersuche ich doch einfach die Randpunkte ... somit wäre die aussage doch falsch weil der Gradient die Richtung des stärksten Anstieges angibt und die Richtung kann doch nicht null sein wenn ich ein globales Maximum habe ...

Antwort
von Ahzmandius, 42

Die Aussage ist falsch, denn:

f''(x0) nicht negativ definit heißt im Klartext; f''(x0)>=0, daraus folgt schon mal es kann kein Maximum bei x0 vorliegen kann.

Kommentar von Mondcrazy ,

Das gilt nur für lokale Extrema ... bei absoluten muss es nicht negativ definit sein.

Kommentar von Ahzmandius ,

Dazu hätte ich gerne ein Beispiel.

Ich habe folgendes gefunden:

Jedes globale Maximum ist auch ein lokales Maximum. Umgekehrt kann ein lokales Maximum ein globales Maximum sein,muß aber nicht.

http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node106.html#SECTION04361000000...

Ich kenne keine Funktion, dessen globales Maximum ein lokales Minimum ist.

Antwort
von iokii, 46

Wenn ich das richtig verstehe, ist die Aussage wahr, aber trotzdem quatsch, da die Bedingung nie erfüllt ist.

Edit : Doch nicht, die Aussage ist einfach falsch.

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