Frage von precursor, 66

Ist es praktikabel die Eigenwerte einer Hesse-Matrix per Hand auszurechnen?

1.) Ist es praktikabel, damit meine ich mit angemessenen Aufwand machbar, die Eigenwerte einer Hesse-Matrix per Hand auszurechnen oder braucht man dazu generell / oder in der Regel ein Computerprogramm ?

2.) Wie rechnet man die Eigenwerte einer Matrix im allgemeinen per Hand aus ? Ein paar Internet-Links, Buchvorschläge oder Youtube-Videos würden mir völlig reichen.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von soulflow, 28

Die Eigenwertberechnung ist ja nicht nur ein Problem, was sich für die Hessematrix ergibt, sondern allgemein für nxn Matrizen, bzw. Endomorphismen.

zu 1:

Das kann man pauschal nicht sagen. Die Eigenwerte einer Diagonalmatrix, daher eine Matrix die auf der Diagonalen irgendwelche Einträge hat, sonst über 0, kann ich dir direkt angeben. Dabei ist es sogar egal ob es sich um eine 2x2 Matrix oder 100x100 Matrix handelt. Denn die Eigenwerte wären dann einfach die Diagonaleinträge.

Erfahrungsgemäß kann ich sagen, dass die Berechnung der Eigenwerte einer 2x2 und 3x3 Matrix absolut kein Problem ist, das kann man in unter 5 min erledigen. Ab 4x4 und aufwärts wird es dann schon etwas problematischer - aber nicht schwieriger. In meiner LA1 Klausur damals, musste ich die Eigenwerte einer 4x4 Matrix berechnen, war absolut kein Spaß, kann ich dir sagen. Bestimmt 10 mal verrechnet.

zu 2:

Um die Eigenwerte einer Matrix A zu berechnen, ich gehe hierbei von aus, dass sich die Matrix nicht in Diagonalgestallt befindet (sonst siehe oben), müssen wir die Determinante der charakteristischen Matrix berechnen und Nullstellen des so erhaltenen Polynoms bestimmen. Die charakteristische Matrix zu A ist definiert als A-x*E. Wobei E die Einheitsmatrix ist. Hört sich kompliziert an, ist es aber nicht.

Kleines Beispiel anhand einer 2x2 Matrix:

Betrachte die Matrix A =

(-1    1)

(4    -1)

Dann lautet die charakteristische Matrix

(-1-x    1)

(4    -1-x)

Was also effektiv passiert: wir ziehen von allen Diagonaleinträgen einfach x ab.

Die Determinante liefert dann das charakteristische Polyom zur Matrix A, also

P(x) = (-1-x)(-1-x)-4= 1+2x+x^2-4=x^2+2x-3=(x-1)(x+3)

Die Nullstellen sind x1=1 und x2=-3. Das sind somit die Eigenwerte unserer Matrix A.

In deiner anderen Frage wolltest du wissen ob es noch andere Möglichkeiten gibt, die Definitheit der Hessematrix zu untersuchen. Ja die gibt es. Für selbstadjungierte Endomorphismen, kann man die Definitheit über die Hauptminoren bestimmen. Glücklicherweiße ist die Hesse-Matrix selbstadjungiert. Problem an dieser Methode ist, dass sie nicht zu 100% ein verwertbares Ergebnis liefert. Vorteil natürlich, dass sie um einiges schneller ist, als die Berechnung der Eigenwerte.

Üblicherweise geht man wie folgt vor, wenn man die Definitheit der Hesse-Matrix untersuchen will:

0. Du weißt bereits ob sie Definit ist (naja...)

1. Ist die Hesse-Matrix in Diagonalform, dann einfach Eigenwerte ablesen.

2. Falls nicht, dann Hauptminoren berechnen.

3. Falls Methode 2 keine verwertbaren Informationen liefert, DANN erst die Eigenwerte der Matrix berechnen.

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VG

Kommentar von precursor ,

Recht herzlichen Dank für deine ausgezeichnete Antwort !

Antwort
von Almalexian, 39

Wenn die Hesse-Matrix 2x2 ist kann man das auch noch von Hand ausrechnen.

Die Hesse-Matrix setzt sich aus den zweiten partiellen Ableitungen der ersten partiellen Ableitungen zusammen.


Kommentar von precursor ,

Vielen Dank !

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