Frage von HantelbankXL, 49

Ist es korrekt, einen mathematischen Beweis so zu führen (ich vermute nein): Zu beweisen: A->B, Implikation negieren und anschließend ein Gegenbeispiel angeben?

Man könnte sich doch einen Beweis unheimlich einfach machen. Bekanntlich reicht es NICHT aus, eine Behauptung mit Beispielen zu beweisen, aber schon ein einziges Gegenbeispiel genügt, um eine Behauptung zu widerlegen.

Jetzt gehen wir einmal von irgendeiner Behauptung A->B aus, die bewiesen werden soll. Die Negation davon ! ( A -> B ) = ! ( !A v B ) = A ^ !B

Wenn ich nun A ^ !B mit einem Gegenbeispiel widerlege, ist damit nicht eigentlich die Behauptung A -> B bewiesen?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 21

Doch, für einen "formalen" Beweis geht man so vor. Man muss aber auch im Vorhinein belegen können, dass die beiden Gegenmengen wirklich alles darstellen, was vorstellbar ist, also sich gegenseitig ausschließen und gemeinsam die Gesamtmenge bilden. Dann reicht zum Beweis eines Satzes aus der einen Menge der Gegenbeweis für ein einziges Element der Gegenmenge.

Manche Mathematiker sind damit nicht zufrieden. Die "Intuitionisten" möchten, anders als die "Formalisten" wirklich Beweise führen. Das gelingt allerdings nicht immer.

Lustigerweise, wie ein Prof mal bemerkte, sind manche von ihnen vormittags Intuitionisten und nachmittags Formalisten.

Antwort
von Zaadii, 30

Generell hast Du recht.

Beachte aber, dass bei Mengenbezohgenen Aussagen auch ein "Für alle" in ein "Es gibt ein" bei der Negation überführt wird, wodurch die umgewandelte Behauptung dann doch nicht nur durch eine Beispiel bewiesen ( oder wiederlegt) werden kann. 

Z.B. "Es gibt rote Ziehen" kann ich nicht durch das zeigen einer weisen Ziehge wiederlegen. Die negation "Es gibt keine roten Ziehen" was bedeutet " Für alle Ziehgen gilt : Sie ist nich rot" ist dann auch nicht per Beispiel belegbar.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 11

Nein, weil ein Gegenbeispiel zu A ∧ ¬B  (also ein Beispiel zu ¬A ∨ B) die Widerspruchsbehauptung (¬(A→B)) widerlegt, also nur ein positives Beispiel für die ursprüngliche Behauptung ist.

(Beachte die doppelte Verneinung hier: Gegenbeispiel zur Negation)

Ein (positives) Beispiel für A ∧ ¬B widerlegt die ursprüngliche Behauptung.

Antwort
von lks72, 7

Für alle A gilt A->B ist verneint: Es gibt ein A mit A und nicht B. Mit einem Gegenbeispiel kannst du aber diese Existenzverneinung nicht widerlegen.

Antwort
von WeicheBirne, 12

Nimm mal an A ist eine Menge 

A = { A₁, A₂, A₃ } 

und B ist eine Menge

B = { B₁, B₂, B₃ }

Wenn Du jetzt z.B. zeigen kannst, daß 

A₁ ^ !B₁

falsch ist, dann stimmt es sicherlich, daß die allgemeine Aussage

A ^ !B

auch falsch ist. Aber 

A₂ ^ !B₂

könnte trotzdem immer noch wahr sein. Also hast Du nicht bewiesen, daß

A -> B

Bin mir nicht ganz sicher ob Volens das mit seinem Beitrag bereits angesprochen hat. Sollte das so sein dann sorry Volens dafür daß ich Dir hier nachplappere :)

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