Frage von Constans, 111

Ist eine unendlich Anzahl an Aussagen abzählbar oder überabzahlbar?

Ein Freund von mir und ich streiten aktuell über ein folgende Fragestellung: Wenn ich unendlich viel Zeit habe um unendlich viele Aussagen zu formulieren ( wobei der Wahrheitsgehalt unwichtig ist ) ist die " Anzahl der Aussagen" die ich treffe abzählbar oder überabzählbar Unendlich? Ich argumentiere wie folgt : Die Anzahl der Aussagen die ich treffe ist Element der Natürlichen Zahlen ( welche abzählbar sind ). Somit ist auch die Anzahl der Aussagen die ich treffe abzählbar. Mein Freund argumentiert hingegen : Ich kann zu jeder Reellen Zahl eine Aussage treffen. Die Reellen Zahlen sind nicht abzählbar. Wenn ich über jede Reelle Zahl eine Aussage treffe, dann sind die Aussagen auch nicht abzählbar. Meiner Meinung jedoch ist der Inhalt der Aussagen nicht relevant, da es ja darum geht ob die "Anzahl" meiner Aussagen abzählbar Unendlich sind und nicht die Reellen Zahlen. Er jedoch vertritt den Standpunkt, dass dies das selbe sei. Da wir mit einem Einsatz von 2 Mensa-nachtischen darum gewettet haben wer recht behält wollte ich fragen ob jemand die richtige Antwort kennt und wie sie sich Mathematisch beweisen ließe.

(Hinweis: Eine Person merkte an, dass die Anzahl der Aussagen sich nicht abzählen ließen, wenn ich in einer Sekunde Unendlich viele Aussagen treffe, da die Zeit linear verläuft...... oder so. Entsprechen möchte ich erweitern dass die Aussagen in einer menschlich mögliche Zeit formuliert werden

Antwort
von YStoll, 64

ABZÄHLBAR

Du kannst nie zwei Aussagen glecihzeitig treffen, sondern immer nur eine nach der anderen. Somit kann man jeder Aussage eine natürliche Zahl zuordnen, die ihre Position unter den anderen Aussagen darstellt. Von jeder natürlichen Zahl findet man genau eine entsprechende Aussage, sprich es gibt keine zwei Aussagen, die beide die n-te Aussage waren (Für alle n€|N).
Diese "Zuordnung" ist also eine bijektive Abbildung.
Somit müssen Definitions- und Bildmenge die gleiche Kardinalität besitzen.
Also ist die Definitionsmenge abzählbar.

Oder aber: du kannst deine Aussagen durchzählen.
Das ist praktisch die Definition von "Abzählbar"

Das bedeutet übrigens auch, dass du selbst mit unendlich viel verfügbarer Zeit niemals eine Aussage über jede reellen Zahlen aufstellen kannst.

Antwort
von Roach5, 64

Zwei Arten daran zu gehen.

1. Betrachte das Unicode-Alphabet, wir nehmen an, dass jede Aussage in einem deutschen Satz auf mindestens eine Art und Weise in Unicode-Zeichen dargestellt werden kann. Das Unicode-Alphabet nennt man U, dieses ist endlich.

Wir definieren die Menge aller Wörter in U*, das ist die Vereinigung aller endlichen U-Sequenzen.

Unsere Annahme besagt, dass die deutsche Sprache eine Teilmenge von U* ist. Wie man sehr leicht zeigen kann, ist U* abzählbar, damit auch die Menge aller deutschen Aussagen. Die Menge aller von dir getroffenen Aussagen ist eine Teilmenge der Menge der deutschen Aussagen, damit also auch abzählbar.

2. Ein schwereres Beispiel wäre, wenn man verlangt, dass du dieselbe Aussage zweimal machen darfst, dann wäre a priori nicht klar, ob die Menge aller Aussagen abzählbar ist oder nicht, du könntest aber damit argumentieren, dass du pro Aussage sagen wir mal mindestens ε Sekunden brauchst. Wenn jede Aussage eine Zeit hat, in der begonnen wurde, die Aussage zu sprechen (t(A) ist die Anzahl an Sekunden nach der ersten Aussage), dann bekommen wir eine zeitliche Ordnung N(A): A -> N [durch das Auswahlaxiom!], sodass t(A) <= N(A)/ε. Diese Ordnung ist dann die Abzählung von A.

LG

Kommentar von Roach5 ,

Kleiner Schreibfehler: N: {A, die von dir getroffen wurden} -> N sollte es heißen, N(A) soll ja schließlich der Funktionswert sein.

Kommentar von Roach5 ,

Eine kleine Bemerkung zur Konstruktion von N, da es glaube ich nicht klar ist, wo diese Ordnung herkommt. Das Problem ist nämlich, dass unendliche Mengen nicht unbedingt ein Minimum besitzen.

Die Menge aller von dir getroffenen Aussagen ist X und die erste Aussage ist A1, und wir haben t(A1) = 0.

Nach unserer Aussage gilt immer |t(A) - T(A')| >= ε.

Wir haben A1 bereits definiert und definieren M1 := A1 und Mn+1 := min(X\(M1∪M2∪...∪Mn)), wobei unsere Ordnung die folgende ist: x < y <-> t(x) < t(y).

Dann definieren wir f: |N -> X, f(n) = Mn. Du hast ja bereits angenommen, dass X unendlich ist, also ist f wohldefiniert (wenn X endlich wäre, würde Mk für k groß genug immer undefiniert sein als das Minimum der leeren Menge), und offensichtlich injektiv. Dass die Funktion surjektiv ist, ist auch klar, da unsere Annahme uns für jedes X immer eine obere Schranke für ein n gibt, sodass f(n) = X (siehe obige Antwort), und wir definieren f^(-1) als N von oben.

Diese Konstruktion findest du relativ häufig, um zu zeigen, dass geordnete Mengen immer abzählbar sind, wenn sie nirgendwo dicht sind (es gibt ein ε, sodass immer |x-y| >= ε).

Antwort
von kepfIe, 52

Ich würde sagen abzählbar. Wenn wir die Abbildung N->M nehmen, wobei M die Menge der Aussagen ist und N die natürlichen Zahlen, mit n€N|->n ist eine natürliche Zahl, haben wir eine bijektive Abbildung. Also abzählbar. Wenn wir jetzt aber R->M nehmen mit 1/n|->1/n ist eine reelle Zahl, n€N, kommen wir nichtmal bei 2 an, und somit eher nich überabzählbar.  

Is wahrscheinlcih ziemlich schlampig jetzt, weil ich das in 5 Minuten hingeklatscht hab, aber so seh ich das ganze.

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 47

Ich tendiere zu deinem Standpunkt. Sie sind abzählbar unendlich.

Das liegt an der Abzählbarkeit der aneinanderrreihenden Zeichen:

1) a
2) b
...
n) aa
n+1) ab
...

Zwischen a und b passt nichts mehr.

Sätze und Aussagen sind nur eine Teilmenge dieser abzählbaren Kombinationen, also wiederum abzählbar (und unendlich).

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