Frage von evermore90, 42

Ist eine Symetrische Matrix dasselbe enie eine Orthogonale Matrix?

Hi, habe mich im Internet verrückt gesucht nach einer vernünftigen erklärung zu orthogonalen Matrizen. Kann das vielleicht sein, das das dasselbe ist, wie Symetrische, und das nur weil aus dem englischen kommend die verwirrung entstanden ist?

Falls es nicht dasselbe ist, kann mir jemand vielleicht erklären, was eine orthogonale Matrix ist?

Antwort
von krokant17, 29

Also mal kurz die Definitionen:

  • Symmetrische Matrix: $$a_{i_{j}} = a_{j_{i}}$$
  • Orthogonale Matrix: $$A * A^{T} = I_{n}$$

Das bedeutet, die beiden sind genau das gleiche, wenn die inverse Matrix der symmetrischen Matrix entspricht:

Das Produkt einer Orthogonalmatrix und ihrer Transposition ist die Einheitsmatrix.

Das bedeutet, die symmetrische Matrix A muss, um orthogonal zu sein, mit ihrer Transposition (also sich selber) multipliziert (also $$A^{2}$$) die Einheitsmatrix ergeben.

Insofern ist das manchmal das Gleiche, allerdings gibt es eben auch Fälle, in denen das nicht zutrifft.

Kommentar von evermore90 ,

ich bin leider nicht der große mathematiker. Gibt es eine möglichkeit das einfach zu prüfen (ob die matrix orthogonal ist, oder halt nicht)? ich hatte dies auf wikipedia gesehen: https://en.wikipedia.org/wiki/Projection_(linear_algebra)

Danach währe, wenn ich es denn nun korrekt verstanden habe diese Matrix orthogonal:

1 0 1

1 0 tan(alpha)

0 0 0

Da die unterste Zeile 0 is, ist das richtig?.

Aber wie schaut es bei einer Matrix mit 4 oder 5 auch Spalten und Zeilen aus? Dann auch immer die unterste Zeile untersuchen, oder mehr?

(Also ich frage so dermaßen doof weil das einfach in einer Klausur die ich halt bestehen MUSS drankommt. Ich werde mich hüten und mir einen Arbeitsplatz suchen an dem man das in tieferem Sinne verstanden haben muss, aber es währe super wenn Sie/du mir das erklären könntest, da meine Komilitonen nicht mal im Ansatz überhaupt angefangen haben zulernen, oder sich mit der Thematik auseinanderzusetzen)

Kommentar von krokant17 ,

Also zur orthogonalen Projektion: Soweit ich weiß ist die dafür da, um dreidimensional gespeicherte Daten auf zweidimensionale zu projizieren, z.B. um 3D-Objekte mittels orthogonaler Projektion auf einem Computerbildschirm (der ja meist 2D ist) darzustellen.

Wenn die letzte Zeile null ist, dann kannst du die ja einfach ignorieren, deine Daten sind ja dann quasi schon zweidimensional abgespeichert. Genau die Anzahl an Dimensionen, die du verringern willst, genau so viele Nullzeilen müssten zur simplen Projektion vorliegen. Also z.B. von 7D auf 3D wären vier Nullzeilen ausreichend, sonst muss gerechnet werden.

Das nur kurz um orthogonale Projektion zu erklären... Ich denke, die "orthogonale Matrix", die du meinst, ist etwas anderes.

Die Definition ist ja, dass die orthogonale Matrix O mal die Matrix O transponiert genau eine Einheitsmatrix ergibt.

Das bedeutet, dass das inverse der Matrix genau ihrer Transposition entspricht.

Um kurz zu zeigen, wie man herausfindet, ob eine Matrix orthogonal ist:

Möglichkeit 1:

  • Bestimmung der inversen: Matrix A mal die inverse ergibt die Einheitsmatrix, also versuchst du nach Gauss-Verfahren, links A und rechts die Einheitsmatrix auf eine neue Form zu bringen, in der links die Einheitsmatrix steht. Rechts steht dann die inverse Matrix (nennen wir sie B). Falls das nicht klappt, ist die Matrix nicht invertierbar und kann gar nicht orthogonal sein.
  • Vergleich mit der ursprünglichen Matrix: Wenn B genau der Transposition von A entspricht (also quasi das Gespiegelte ist), dann ist A orthogonal.

Möglichkeit 2:

Schau, ob A mal A transponiert die Einheitsmatrix ergibt.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen, aber falls Du noch Fragen hast, versuche ich sie dir gerne zu beantworten.

Allerdings würde ich dir empfehlen, mit dem Professor oder einem seiner Assistenten darüber zu reden, das garantiert dann die Richtigkeit der Inhalte (bzw. wenigstens prüfungstechnisch)

Kommentar von evermore90 ,

Danke danke für die sehr gute erklärung. Ja der Professor ist super intelligent, und versucht es dann für normale studenten runterzubrechen. weiter ist es immer ein englisch/ deutsch misch masch. der dozent soll soll aber nicht wissen, das wir wissen, das immer etwas zur orthogonalen Projektion in der Klausur drankommt, weil es in der Vorlesung nicht dran kommt. Weil das etwas ist was über den dargelegten Stoff hinausgeht und als Student sollte man sich intensivst mit der Thematik auseinandersetzen blah blah... Also orrthogonale Matrix ist interessant. ganz klar aber so mein Freizeithobby ist es nicht. und der Dozent denkt sich wohl das es das sein muss, wenn man einen Bachelor haben will. Darum können wir ihn nicht fragen. Also sollte ich nun durchfallen und er weiß es ist es aus der nächsten klausur, die in 2 Jahren angeboten wird garantiert gestrichen.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community