Frage von precursor, 45

Ist eine Fixpunktiteration in den komplexen Zahlen möglich?

Gegeben sei

2 * x ^ 2 - 2 * x + sin((x + 1) ^ 2) = 0

Daraus lässt sich folgende Fixpunktgleichung aufbauen -->

x = x ^ 2 + (1 / 2) * sin((x + 1) ^ 2)

Mit dem Startwert x = 0.5 findet man nach 20 Iterationen den Wert x = 0,629888525973923

Mit einer anderen der möglichen Fixpunktgleichungen -->

x = (x - (1 / 2) * sin((x + 1) ^ 2)) ^ (1 / 2)

lässt sich mit dem Startwert x = 1 nach 18 Iterationen der Wert x = 1,309918588049038 finden.

Das sind laut Wolfram Alpha auch die einzigen beiden Lösungen die 2 * x ^ 2 - 2 * x + sin((x + 1) ^ 2) = 0 hat und die Lösungen stimmen auch gerundet bis auf die letzte Nachkommastelle die ich hingeschrieben habe.


Wenn man nun 2 * x ^ 2 - 2 * x + sin((x + 1) ^ 2) = 0 ganz leicht abändert zu -->

2 * x ^ 2 + x + sin((x + 1) ^ 2) = 0

dann gibt es keine reellen Lösungen mehr, aber es gibt laut Wolfram Alpha 4 Lösungen in den komplexen Zahlen.

Meine Frage lautet nun -->

Wie kann man eine Fixpunktiteration durchführen wenn x Element der komplexen Zahlen sein soll anstelle der reellen Zahlen ? oder anders ausgedrückt wie führt man eine Fixpunktiteration im Komplexen / mit komplexen Zahlen durch ?

Ich hoffe man kann meine Frage hinreichend gut verstehen.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von ausdertonne, 31

Müsste genauso gehen, denn der Fixpunktsatz gilt ja auch für die komplexen Zahlen.

Also einfach die Iteration für Realteil und Imaginärteil getrennt ausführen.

Kommentar von precursor ,

Vielen Dank für deine Antwort !!

Ich weiß zwar nicht wie das ganz konkret in der Praxis auszusehen hat, aber vielleicht komme ich noch dahinter.

Ich werde darüber nachdenken.

Kommentar von ausdertonne ,

Gerne :)

Mein Vorschlag:

Ersetzte x durch z=x+iy

Dann stelle eine Fixpunktgleichung auf und berechne Realteil und Imaginärteil. 

z=--2 z^2- sin ((z+1)^2)

x=Re(z)= ..., y=Im(z) = ...

Das wird aber insbesondere wegen des Sinusterms etwas unhübsch werden, aber sollte gehen. 

Danach hast du zwei Fixpunktgleichungen, eine für x und eine für y, die unabhängig voneienander iteriert werden können.

Kommentar von precursor ,

Vielen Dank !

Ich werde es ausprobieren wie du vorgeschlagen hast.

Antwort
von gilgamesch4711, 12

  Ich fürchte du hast dann das Problem des Attraktors wie bei der Mandelbrotmenge. Du musst doch fragen: Für welchen Anfangswert divergiert die Iteration; und hängt der Grenzwert stetig vom Anfangspunkt ab? Angeblich gibt es ja chaotische Bereiche.

    Du müsstest das mal raus plotten so wie bei der Mandelbrotmenge.

Kommentar von precursor ,

Vielen Dank für deine Antwort !

So gut kenne ich mich damit nicht aus, aber ich werde mich in der nächsten Zeit mal damit beschäftigen.

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