Und wie kann man die Unterschiede erkennen? Zum Beispiel zwischen einer privaten Klinik, einem Bundeswehrkrankenhaus oder einem konfessionellen? Vielen Dank!

Auch Coca-Cola ist eine Institution.
Und ob es eine kirchliche Einrichtung ist oder nicht, dass ist eine Frage der Eigentumsverhältnisse.

Dienstleistungs Unternehmen.
Möglich ist aber auch, dass dort Institute ( Forschung ) tätig sind.