Ist ein Divergenzfreies Vektorfeld immer als Rotor eines anderen Vektorfelds darstellbar?

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3 Antworten

Existenz: Ja, es gilt für jedes quellfreie Feld. Das folgt aus dem Poincaré-Lemma, welches (unter anderem) besagt, dass jede geschlossene Differentialform exakt ist (auf "gut aussehenden" offenen Mengen, aber das lassen wir mal weg). Eine Lösung konstruieren ist eine andere Sache, das kann man nicht immer auf einfachem Wege.

Eindeutigkeit: Im Allgemeinen nicht, nur "modulo rotationsfreies Feld", denn der Differentialoperator rot ist linear. Hast du also eine Lösung A mit rot A = B, dann sei F ein rotationsfreies Feld, und rot (A+F) = rot A + rot F = B + 0.

LG

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Kommentar von PeterKremsner
04.10.2016, 02:51

Danke an das Lemma von Poincaré habe ich hier gar nicht gedacht, aber erscheint mir logisch :)

Ja an die Sache mit der Eindeutigkeit habe ich danach auch gedacht, aber ist das nicht eigentlich dann ein Problem?

Beim Elektrischen Potenzial ist es ja so, dass es nur erzeugt werden kann wenn die Spannung wegunabhängig ist und somit das Skalarfeld an einem Ort auch nur einen Wert annehmen kann. Folglich muss das Potenzial an jedem Punkt eindeutig sein.

Mir kommt in diesem Sinne die Asymmetrie komisch vor, warum muss das Elektrische Potenzial eindeutig sein und das magnetische Vektorpotenzial muss das nicht sein?

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Kommentar von SlowPhil
04.10.2016, 22:32
… ich kann kein Potenzial bilden, dass zwei unterschiedliche Werte am selben Punkt haben soll.

Das gilt aber auch für das Vektorpotential. Die unterschiedlichen Eichungen sind

Alternativen

.

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Mein Problem ist jetzt aber, dass ich nicht weiß, ob das für jedes divergenzfreie Feld gilt und ob A aus der Bedingung oben immer eindeutig ist.

Letzteres ist nicht nur nicht immer, sondern niemals der Fall, und zwar wegen

(1) rot(grad(ψ)) ≡ ∇×(∇ψ) ≡ 0 ∀ ψ.

Verschiedene Vektorpotentiale, die sich um ein Gradientenfeld

grad(ψ) ≡ ∇ψ

unterscheiden, haben dieselbe Rotation, d.h. die Addition eines Gradientenfeldes hat nicht die geringsten Auswirkungen auf

rot(|A›) ≡ ∇×|A› ≡ |B›.

So etwas nennt man übrigens eine Eichtransformation. Für das Vektorpotential gibt es verschiedene als Eichungen bezeichnete Konventionen, wie die Coulomb-Eichung

(2.1) ‹∇|A› ≡ div(|A›) ≡ 0

oder die Lorenz-Eichung (ohne ›t‹ vor dem ›z‹, weil sie nach Ludvik Lorenz benannt wurde)

(2.2) (c⁻²∂φ/∂t – ‹∇|A›) ≡ 0

mit dem elektrischen Potential φ, die den Vorteil hat, invariant unter der Lorentz-Transformation (mit ›t‹ vor dem ›z‹, weil sie nach Hendrik Antoon Lorentz benannt wurde) und damit unabhängig vom Bezugssystem zu sein.

Die Situation ist mit der des skalaren Potentials φ oder dem Gravitationspotential Φ vergleichbar, bei der die Physik, namentlich die wirkenden Kräfte, und dergleichen, invariant unter der Addition einer Konstanten φ₀ bzw. Φ₀ ist (d.h. den Kräften ist die Konstante egal).

Bei der Elektrodynamik ist nur die Differenz

(3) φ₂ – φ₁ =: U

zwischen zwei elektrischen Potentialen φ₁ und φ₂ von Belang, besser bekannt unter dem Namen (elektrischeSpannung.

Für die Gravitation gilt natürlich dasselbe, und nur deshalb kann man in der Nähe der Oberfläche eines Planeten auch »Eₚ = m·g·h« sagen.

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Nicht eindeutig. B ist sozusagen eine 2-Form. Gegeben eine 1-Form A mit dA (= rot A) = B, können wir jede beliebige C²-differenzierbare 0-Form nehmen, φ, (also ist dφ=grad φ eine 1-Form) und es gilt d(A + d(φ)) = dA + d(d(φ)) = B + 0 = B. Darum ist die 1-Form A nicht eindeutig.

Im Fachjargon der Elektrotechniker können wir das Feld A immer um Grad eines Skalarfelds/Potentials modifizieren.

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