Ist dieser Beweis korrekt?

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4 Antworten

Warum so umständlich?

  • Gegeben: x∈A ⇒ x∈B (Definition von A⊆B).
  • Zeige: (x∈A ∧ x∈B) ⇔ x∈A (Definition von A∩B und Mengengleichheit).

Die Richtung ⇒ ist trivial. Und für ⇐ nimmst Du einfach die Voraussetzung dazu — fertig!

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(A n B) \\ A = {} => A n B = A

So funktioniert das leider nicht. Mit (A n B) \\ A = {} zeigst du nur, dass A n B c A ist. Die Gleichheit ist damit noch nicht gegeben [z.B. gilt ja {1} \\ {1,2} = {}, obwohl {1} und {1,2} voneinander verschieden sind].

Du musst also noch zeigen, dass auch A c A n B gilt. Hierfür brauchst du dann auch die Voraussetzung A c B, die du in deinem Beweis gar nicht wirklich verwendet hast - das sollte einen immer stutzig machen ;)

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Nein. Die Idee ist richtig aber er ist nicht vollständig.

Der Fall A=B ist nicht abgedeckt. Dann ist nämlich (A n B) \\ A = {} und dein gewähltes x existiert nicht.

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Behauptung. A ⊆ B ⟹ AnB = A. ⊣

Beweis. (Richtung ⊆).

_____________________
| Sei x∈AnB beliebig.
| Dann gilt x∈A und x∈B.
| Dann gilt x∈A. |
˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
Daher ∀x∈AnB: x∈A.
Das heißt AnB⊆A.

(Richtung ⊇).

___________________
| Sei x∈A beliebig.
| Da A⊆B, und gilt ∀y∈A: y∈B.
| Da x∈A, gilt also x∈B.
| Also gilt x∈A und x∈B.
| Also gilt x∈AnB. |
˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜
Daher ∀x∈A: x∈AnB.
Das heißt A⊆AnB.

                                                                                                                    QED.

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Kommentar von ralphdieter
23.10.2016, 10:31

Ok, Du warst wieder mal schneller!

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