Frage von SchumiFan91, 51

Ist diese Differentialgleichung überhaupt lösbar?

Hallo, ich habe alles versucht, um die DGL y″(t) + (g/l) • sin(y(t)) = 0 ohne den Sinus als Reihe zu entwickeln zu lösen. Mit Laplace-Transformation komme ich auch nicht weiter. Ist diese DGL überhaupt mit trivialen Mitteln lösbar?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 17

Wenn es hier sich um die Herleitung des Fadenpendels geht,dann ersetzt man :

sin(a)=S/l   Für kleine Winkel (5°-7°) ist sin(a) gleich den Winkel in Bogen maß Phi= s/r siehe Mathe-Formelbuch "Geometrie" Winkel Bogenmaß

Beim Fadenpendel ist Phi=b/r=S/l  dies führt zur Dgl

m *a +  m *g/ l * s=0 ergibt a+g/l * s=0 

a ist die Beschleunigung ,die 2 te Ableitung des Weges nach der Zeit t

ergibt S´´+g/l * S = 0 ergibt S´´= g/l * -1 * S

Wir sehen,dass die 2 te Ableitung ein negatives Vorzeichen hat.Diese Eigenschafte haben nur die Funktionen y=f(x) = sin(w *t) und

y=f(x)=cos(w *t)

Dies sind 2 Lösungen der Dgl S´´+ g/l * S=0

Allgemeine Lösung ist S(t)= C1 * sin(w *t) + C2 *cos(w*t)

Wenn man nun das Koordinatensystem im Ruhepunkt des Fadenpendels legt, dann bleibt nur als Lösung S(t)= a *sin(w *t).

In der Literatur findet man die Formel

S´´+ wo^2 * S=0 dies ist die Dgl der freien ungedämpften Schwingung.

wo^2= g/l und mit der Winkelgeschwindigkeit w0= 2 *pi /T

T ist die Zeit für eine volle Periode (hin und her Schwingung) in Sekunden

w0= Wurzel (g/l) ergibt 2 *pi /T = Wurzel (g/l) 

ergibt T/(2 *pi)= Wurzel( l/g) siehe Mathe-Formelbuch Wurzelgesetze

1/2 = Wurzel (a/b) ergibt 2/1= Wurzel ( b/a)

also T= 2 *pi *Wurzel( l/g)

HINWEIS : Legt man den Ursprung des Koordinatensystems an die maximale Auslenkung,dann ist S(t)= a *cos(w *t)

Kommentar von SchumiFan91 ,

Danke für die Antwort! Aber die Lösung kenn ich bereits. Ich wollte fragen, ob man die DGL in meiner Frage auch mit dem Sinus (also ohne die Kleinwinkelnäherung) lösen kann.

Kommentar von fjf100 ,

Kräftegleichgewicht am Fadenpendel  m *S´´= m *sin(Phi)

Lösung : Führen wir den Auslenkungswinkel s=l * Phi ein,so ergibt sich für Phi=Phi(t) ergibt die Dgl 2.ter Ordnung

(Phi`)´´= a^2 * sin(phi) mit a^2= g/l

Multiplikation mit 2 * (Phi)´  und Integration ergibt 

Phi)´^2= 2 *a^2 * sin(Phi) + C1 mit (Phi)´= d(Phi)/dt

Da für die größte Ausschlagsweite Phi= (a) Winkel Alpha die Winkelgeschwindigkeit Phi)´=0 ist,erhält man

 C1= - 2 *a^2*cos(a)

Mit der Beziehung cos(x)=1- 2 *sin^2(x/2) läßt sich Phi)´ umformen

(Phi)´= a * Wurzel (2 *(cos(Phi) - cos(a))= 

2 *a *Wurzel(sin^2((a)/2) - sin^2(Phi/2))

Trennen der Veränderlichen 

t= 1/(2 *a) * Integral ( d(Phi) / Wurzel (sin^2((a)/2) - sin^2(Phi/2))

Integration zwischen den Grenzen 0 uns (a) Alpha ergibt 1/4 der Schwingungsdauer T

T/4 = 1/(2 *a) * Integral ( " )

Mit Substitution sin(Phi/2)=sin((a)/2 * sin(v) erhält man das Integral

T= 4/a * Integral ( dv/ Wurzel (1-sin^2((a)/2) * sin^2(v)

Integration durch "Reihenentwicklung" des Integranden nach der binomischen Reihe und gliedweise Integration.

Ergebnis : T= 2 *pi * (Wurzel ( l/g)) * ( 1+1/4 *sin^2((a)/2)+9/64 *

sin^4( (a)/2) + ....

Hinweis : zeichne das Fadenpendel mit den Winkeln (a) Alpha ist der maximale Ausschlagwinkel und der veränderlichen Winkel "Phi"

Quelle :"Mathematik" Band II Lehr u. Übungsbuch

Harri Deutsch Verlag Thun und Frankfurt /Main

Den Verlag gibt es heute nicht mehr,ist von einen anderen Verlag übernommen worden. 

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 5

y''(t) + a*sin(y(t)) = 0 ergibt die exotische Lösung:
y(t) = +/-2*JacobiAmplitude(sqrt((2 a+c1) (t+c2)^2)/2, (4 a)/(2 a+c1))

wobei  JacobiAmplitude {kurz am(x,y) } auch wieder nur exotisch 
lösbar ist:
 JacobiAmplitude(x,y)=Integral JacobiDN(t,y) dt,t=0...x

oder
JacobiAmplitude[z, m]= 2 Sum[atan[Tanh[((Pi EllipticK[m])/(2 EllipticK[1 - m])) (k + z/(2 EllipticK[m]))]], {k, -∞, ∞}]
also eine unendliche Summe aus einer Integral-Funktion {die auch wieder als unendliche Summe dargestellt werden kann}!

oder Umkehrfunktion zu EllipticF(x,y) -> auch nur iterativ lösbar:

JacobiAmplitude[EllipticF[x, y], y] =x
weitere 91 Formeln dazu:
http://functions.wolfram.com/EllipticFunctions/JacobiAmplitude/

Also nur sehr schwer numerisch zu berechnen!

Ich habe nicht einmal eine hypergeometrische Funktion für diese exotische Funktion gefunden

Antwort
von ELLo1997, 25

Mir würde neben der trivialen Lösung y(t) = 0 noch die konstante Funktion y(t) = nπ , n ∈ ℤ  einfallen.
Wo bist du denn auf diese Gleichung gestoßen, etwa beim Pendel?

Kommentar von SchumiFan91 ,

Ja genau das mathematische Pendel

Kommentar von ELLo1997 ,

Dachte ich mir schon, hab mir diese Frage nämlich vor längerer Zeit auch gestellt - die Antwort darauf ist jedoch alles andere als schön (siehe "exakte Lösung"):

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Pendel

Lg

Kommentar von SchumiFan91 ,

Ja die Lösung sieht nicht sehr toll aus :)

Kommentar von ELLo1997 ,

Da wird einem erst bewusst, wieso man die Kleinwinkelnäherung so schnell in Kauf nimmt.^^

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