Frage von aslanyav, 51

Ist diese Aussage wahr oder falsch?

Ich nehme an die ist richtig, da ja die NST der 1.Ableitung Auskunft über die Extremstellen geben

Antwort
von Spicy316, 28

Diese Aussage ist richtig, da wie du schon sagtest, die Nullstelle der 1. Ableitung ein Minimum/ Maximum bei f(x) bedeutet, da ja in diesem Punkt die Steigung 0 beträgt.

Antwort
von gilgamesch4711, 3

        Zu 1) Nicht nur ist 1) wahr, somdern wenn umgekehrt die Funktion monoton ist, so folgt, dass die Ableitung f ' ===> fast überall ( f.ü. ) existiert und positiv ist.

       Zu 2) ist falsch. Merke dir bitte folgende beide HINREICHENDEN Bedingungen:

2a ) Wenn x0 eine n-fache Nullstelle von f ist ; n gerade ===> x0 ist ein ( lokales ) Extremum von f . ( Maximum oder Minimum; dies entscheidest du wie üblich durch das Vorzeichen der n_ten Ableitung. )

2b ) Wenn x0 eine n-fache Nullstelle von f ist ; n ungerade und n > 1 ===> x0 ist ein ===> Terrassenpunkt (TRP ) ( Das R ist wichtig; wenn ich das weg lasse, hält der Editor das für das unanständige Wort Klo,papier. ) Was hier nicht abgedeckt wird: Wenn z.B. nicht einmal die erste Ableitung in x0 existiert ( Beispiel: das Minimum der Betragsfunktion. )

Oder die ersten ( n - 1 ) Ableitungen verschwinden; und die n-te Ableitung existiert gar nicht.

Oder f ist zwar unendlich oft differenzierbar; aber sämtliche Ableitungen verschwinden in x0. Pech gehabt; keine Aussage.

3 ) ist richtig; wie entscheidest du das an Hand meiner Darlegungen unter Ziffer 2? Wenn doch schon die erste Ableitung verschieden ist von Null, so liegt eine EINFACHE Nullstelle vor; vermagst du mir da geistig zu folgen? In 2) hatte ich dir aber gesagt, unter allen Nullstellen, die überhaupt eine ( endliche ) Vielfachheit haben, sind nur die GERADEN Extrema; nicht die ungeraden bzw. einfachen. Eine einfache Nullstelle ist " gar nix " , sondern bloß ein Vorzeichenwechsel.

4) will mir gar nicht gefallen. Ich habe noch nie einen Mathetext gelesen, in welchem ein Konjunktiv vorkommt " könnte " Mathematik ist eine ===> Theorie; ein Gedankengebäude aus gesichertem Wissen. An sich hat sie nichts damit zu tun, was du subjektiv für Wahr hältst. Ein WP x0 ist definiert als Extremum der ersten Ableitung; insofern wenn f ( x ) zwei Mal differenzierbar ist in x0, ist notwendig für WP die Aussage f " ( x0 ) = 0 . Das Verschwinden der zweiten Ableitung ist übrigens definiert als ===> Flachpunkt; wenn du dir mal anschaust, wie die ===> Krümmung einer Kurve definiert ist. Die Krümmung verschwindet dann und nur dann, wenn " Flachpunkt "

Zu 5) ist falsch. Du hast sicher verstanden, dass bei mir unter Ziffer 2) immer oBdA voraus gesetzt war f ( x ) = 0 . Das ist doch weiter nix als ein " Verschieber " , eine ===> Integrationskonstante . Und wenn du immer " Nullstelle " voraus setzt, bekommst du eben die beiden äußerst griffigen Regeln 2a) und 2b) , die sich leichter merken lassen. Was passiert nun in einem WP? Der einzige Unterschied zwischen einem allgemeinen WP und einem TRP ist doch nur, dass die erste Ableitung nicht ( notwendig ) verschwindet; das entspräche dann einer einfachen Nullstelle. Aber sonst geht es doch normal weiter; wenn die zweite ( und evtl. folgende ) Ableitungen verschwinden und die erste nicht verschwindende ungerade ist. hast du einen WP. Dagegen wenn wenn die erste nicht verschwindende eine gerade Ableitung ist, liegt nur ein popeliger Flachpunkt vor. Gerade die 6) hätte mich am Meisten intressiert; doch leider ist sie für mich nicht lesbar.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathematik, 13

1.) Wenn mit positiv > 0 gemeint ist, ohne die Null mit einzuschließen, dann ist das wahr.

2.) bis 4.) ist wahr

5.) Kann man nicht als uneingeschränkt wahr hinstellen, weil man es ohne Kenntnis des Funktionswertes der dritten Ableitung im Punkt 3 nicht beantworten kann.

6.) Da scheint etwas vom Text abgeschnitten worden zu sein

Kommentar von DepravedGirl ,

5.) im Punkt 3 sollte für x = 3 heißen

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