Frage von Schlumpfbaby, 75

Ist die Zahl 9 eine mathematische Besonderheit?

Da ich öfters "mit Quersummen herumspiele", ist mir etwas aufgefallen. Erstmal, alle Zahlen deren Quersumme 9 ergibt, sind Vielfache von Neun (sorry, mir fällt die korrekte Bezeichnung dafür grad nicht ein), das ist bei keiner anderen Ziffer der Fall. Außerdem ergibt sich daraus noch eine andere Besonderheit, die ich versuche mal an einem Beispiel zu erklären:

Nehmen wir z.B. die 72, die Quersumme ist 9, addiert man die Quersumme zur 72 ergibt das wider eine Zahl, deren Quersumme 9 ist. Und das ist ohne Ausnahme immer der Fall, wenn man Zu Zahlen, deren Quersumme 9 ist, die neun drauf addiert.

Da ich das bei keiner anderen Ziffer feststellen konnte, frage ich mich, was es damit auf sich hat und ob die Zahl mathematisch gesehen irgendwie "besonders" ist.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 15

Nun könnte man sagen, dass das nun mal die Teilbarkeitsregen sind...

Aber es gibt ähniche Fragen von Acer111111

https://www.gutefrage.net/frage/mathemathische-these-gegenbeweis-gesucht

Die Frage nach Der Differenz einer Quadratzahl und dem Vertauschen der Ziffern zum Quadrat
Modulo 9 -> ergibt immer 0, also teilbar durch 9
-> wurde leider gelöscht -> ist aber im Iterationsrechner
unter http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm
Beispiel 104 (und 105) noch zu finden.

Dann gibt es zur Ziffer 9 noch zu sagen, dass es keine Periode 9 gibt!
(jegliche Bildungsgesetze ergeben die aufgerundete Zahl, aber nie eine Periode 9)

Dann kann jede Periodische Ganzzahl mit dem Divisor 9 in eine kurze Formel komprimiert werden:

44444444444444444 = (10^17*4-4)/9
77777777777777777 = (10^17*7-7)/9
...

In irrationalen Zahlen wie Pi ist die 9 aber schön gleichverteilt wie alle anderen.

Dafür ist die 9 im
https://de.wikipedia.org/wiki/Benfordsches_Gesetz
am seltensten.
siehe auch Iterationsrechner Beispiel 83

Kommentar von Schlumpfbaby ,

Danke, das muss ich mir morgen in Ruhe anschauen, damit ich es vernünftig nachvollziehen kann.

Kommentar von Volens ,

Ein edles Vorhaben ...

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 8

Das liegt ganz einfach daran, dass wir im Zehnersystem rechnen und 9 = 10-1 ist.

Entsprechendes gilt in allen Stellenwertsystemen, z. B. für 6 im 7er-System.

Die Quersummeneigenschaft gilt im Zehnersystem nicht nur für die 9, sondern auch für die 3. Generell in allen Stellenwertsystemen zu einer Basis b für alle Teiler von (b-1).

Kommentar von Schlumpfbaby ,

Aber warum ist das so? Verstehe die Logik dahinter noch nicht ganz.

Kommentar von PWolff ,

Das liegt am Übertrag bei der Addition von 9 (bzw. generell b-1).

Entweder kommt man von 0 auf 9, oder von einer Zahl auf 1 weniger und dafür in der nächst höheren Stelle auf 1 mehr.

Antwort
von Myrine, 33

Naja, was du beschreibst ist eine der Teilbarkeitsregeln, die ich in der 5. Klasse oder so gelernt habe und für die 3 gilt eine vergleichbare Regel.

"Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist."
"Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist."

Antwort
von Schilduin, 14

Nunja, das sind die Teilbarkeitsregeln für die 9. Gilt übrigens auch für die 3. Das ganze kann man ganz gut sehen, wenn man die Reste beim Teilen betrachtet. Also beispielsweise 456/3
4 lässt den Rest 1, 400 aber ebenso (300+99+1)
5 lässt den Rest 2, genauso 50 (30+18+2)
6 ist ohne Rest teilbar.
Die Summe der Reste ergibt 3, somit ist die gesamte Zahl ohne Rest teilbar. (hoffe das war so verständlich)
Wenn man das ganze verallgemeinert, erhält man, dass eine Zahl genau dann durch 3 teilbar ist, wenn die Summe der Ziffern durch 3 teilbar ist. Für die Teilbarkeit durch 9 muss die Zahl einfach nochmal durch 3 teilbar sein, also muss die Quersumme der ursprünglichen Zahl durch 3*3 teilbar sein.
Hoffe das ganze war so verständlich...

Kommentar von Schlumpfbaby ,

Verständlich schon, und dass diese Besonderheiten mit Einschränkung auch für die 3 gelten, fiel mir auch auf, aber eben mit Einschränkungen. Dachte einfach, da steckt noch mehr dahinter.

Antwort
von densch92, 10

Und wenn du irgendeine Zahl durch 9 dividierst, kommen auch ziemlich oft periodische Ausdrücke raus.

Hängt wohl einfach damit zusammen dass 9 ein Vielfaches von 3 ist und k*1/3=k*0,3Periode ist.

Insofern der Zähler nicht gerade ein Vielfaches von 9 ist, sollte bei x/9 immer was Periodisches rauskommen :-)

Antwort
von YStoll, 15

Das ganze liegt nicht an einer mathematischen Besonderheit der 9 an sich sondern an der Tatsache, dass wir 10 Finger haben und daher das Dezimalsystem benutzen.
Würden wir das 12er System benutzen wäre stattdessen die 11 eine "Besondere Zahl", für die gilt, dass eine Zahl durch 11 teilbar ist genau dann, wenn die Quersumme dieser durch 11 teilbar ist.

Antwort
von Franz1957, 13

Schau hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Quersumme#Quersummensatz

Übrigens bleibt im Dezimalsystem bei jeder Zahl, wenn man 9 dazu addiert, die iterierte Quersumme unverändert, auch wenn sie nicht 9 ist.

(Iterierte Quersumme: Ziehe so lange die Quersumme der Quersumme, bis sie einstellig ist.)

Antwort
von Adlureh, 16

Naja, das ist aber doch klar, dass wenn man 9 addiert, die Zahl wieder durch 9 teilbar ist! Wie sollte es auch anders sein? Und nicht nur alle Zahlen, deren Quersumme 9 ergibt, sind Vielfache von neun, sondern auch alle Zahlen, deren Quersumme Vielfache von 9 sind, sind Vielfache von 9! Und das ist bei der 3 genauso, also gibt es sehr wohl eine andere Zahl! Der einzige Unterschied hier ist, dass man nicht immer die Quersumme 3 raushat, wenn man 3 dazu addiert. Aber siehe: Quersumme von 582 ist 15, also ist 582 durch 3 teilbar, da kommt 194 raus. Klar, addiert man 582 + 15, kommt als Quersumme nicht wieder 15 raus, sondern 21, die wiederum aber durch 3 (logischerweise) teilbar ist. Bei jeder Reihe aus dem kleinen Einmaleins gibt es Besonderheiten! Z.B. Ist jede Zahl durch 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind. Deshalb würde ich die 9 nicht als "extra besondere" Zahl sehen.

Kommentar von Schlumpfbaby ,

Das mit der 3 war mir klar, da aber hier eben nicht immer die 3 als Quersumme rauskommt, habe ich es noch als etwas anderes gesehen.

Antwort
von Naysh, 28

Dass die Quersummen immer neun ergeben ist wohl eine Besonderheit, ja. 

Was dir wohl nicht aufgefallen ist, ist dass wenn du die neun addiert, du die Reihe nur fortsetzt. 9x8=72, Quersumme=9, 72+9=81, was das selbe wie 9x9 ist und somit ohnehin zur 9er - Multiplikationsreihe gehört 

Kommentar von Schlumpfbaby ,

Doch ist mir aufgefallen, das habe ich versucht zum Ausdruck zu bringen, ist mir wohl nur nicht ganz gelungen.

Antwort
von Plokapier, 13

Ich sag dir mal noch was....

-alle Zahlen, deren Quersumme durch 9 teilbar ist sind auch selber durch 9 teilbar! (111111111 ist also durch 9 teilbar).

-das Gleiche gilt für die 3 auch. (111 oder auch 111111111 sind also auch duch 3 teilbar.)

Antwort
von UlrichNagel, 7

Bei der 3 müsste es genau so sein, denn das sind die Teilerregeln bei der Umformung zu Primfaktoren! Ist also nichts besonderes! Zum Begriff der Quersumme:

Die Quersumme zu 72 = 7 *10^1 + 2 *10^0 , die 9 geht in der 70 => 7mal sind 63 bleiben 7+2 sind WIEDER 9!

Kommentar von Schlumpfbaby ,

Das Rechenbeispiel hab ich jetzt ehrlich gesagt nicht ganz kapiert, woher kommt das?

Kommentar von UlrichNagel ,

Das war die Erklärung, was Quersumme bedeutet! Die Koeffizienten der ausgeschriebenen Zahl ergeben immer wieder 9 oder bei der 3 ist es ebenso. Man addiert also die Koeffizienten und schaut, ob sie durch 9 oder 3 teilbar sind!

Antwort
von polygamma, 17

https://en.wikipedia.org/wiki/9_(number)#Mathematics

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