Frage von Lxnaaa, 11

Ist die Wurzel aus -x möglich?

Eigentlich darf ja nichts negatives unter der Wurzel stehen, aber x könnte auch negativ sein, sodass dann etwas positives unter der Wurzel stehen würde, weil minus und minus plus ergibt. Ist die Wurzel aus -x dann nur möglich wenn x < 0 ist und wenn ja, wie soll ich dann schreiben, dass x<0 sein muss (also mit Definitionsmenge oder so)? :)

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 7

Ist die Wurzel aus -x dann nur möglich wenn x < 0 ist…

Nun, möglich ist das Wurzelziehen immer, nur reell ist das Ergebnis nicht unbedingt, nämlich in der Tat nur dann, wenn x ≤ 0 ist.

Italienische Mathematiker (Tartaglia, Cardano) des 16. Jahrhunderts bekamen auf der Suche nach einer Lösung für eine Gleichung 3. Grades zwischenzeitlich negative Zahlen unter einer Wurzel und rechneten einfach weiter, nach dem Motto »wir tun mal so, als gäbe es diese Wurzel« und erhielten korrekte Lösungen. Ihr »Mut« wurde also belohnt.

So kam man auf die imaginären Zahlen, Vielfache der imaginären Einheit i mit i² = –1. Eine reelle Zahl plus einer imaginären Zahl, also

(1) z := x + i·y    mit    x,y ∈ ℝ

heißt eine komplexe Zahl. Die Menge der komplexen Zahlen wird mit ℂ bezeichnet. Dank Leonard Eulers Formel

(2) e^{i·α} = cos(α) + i·sin(α)

für eine Variable α, die sich damit als Phasenwinkel interpretieren lässt, kann eine solche Zahl auch als

(3) z = |z|·e^{i·φ}
⇒  x = |z|·cos(φ)    und    y = |z|·sin(φ)

darstellen, was bei Multplikationen, Divisionen etc. die zweckmäßigere Darstellung ist. Reell ist die Zahl, wenn

φ ∈ {m·π| m ∈ ℤ}.

Den Betrag beschafft man sich über die Multiplikation mit dem komplex Konjugierten

(4) z̄ := x – i·y

und Wurzelziehen:

(5) |z| = √{z·z̄} = √{(x + i·y)(x – i·y)} = √{x² + ixy – ixy – i²y²} = √{x² + y²}.

Die n. Wurzel aus z selbst (respektive deren Hauptwert) ist

(6) ⁿ√{z} = ⁿ√{|z|}·e^{i·φ/n}.

Allerdings hat eine Gleichung der Form

xⁿ = a

immer n komplexe Lösungen, nämlich

ⁿ√{|z|}·e^{i·φ/n + k·2π/n}

mit k ∈ ℕ 0 ≤ k ≤ n–1.

Auch daran sieht man übrigens, dass für gerade Wurzeln

φ = ∈ {m·2π| m ∈ ℤ}

sein muss, wenn sie reell sein sollen.

Kommentar von Thor1889 ,

Einer muss immer übertreiben ;)

Kommentar von SlowPhil ,

Nu ja, es ist schon sehr ausführlich, aber übertrieben würde ich es nicht unbedingt nennen. Die Aussage »Wurzel von was Negativem geht nicht« ist im Grunde eine Verkürzung, die ich so nicht stehen lassen mag.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 11

Ja, das geht.

√-x ist definiert in ℝ für x ≤ 0.

Denn wenn x negativ ist, ist -x positiv.

Beispiel: x = -4 ⇔ √-x = √(-(-4)) = √4 = 2

-x ist nicht zwingend negativ.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, nur her damit! :) 

LG Willibergi

Kommentar von Lxnaaa ,

Und ist die Wurzel aus -x hoch 2 möglich oder müssen um -x hoch 2 Klammern stehen? :)

Kommentar von Willibergi ,

√(-x²) ist aber für x ∈ ℝ immer negativ, da x² immer positiv ist.

√(-x²) ist also undefiniert in ℝ.

Hier sieht es allerdings anders aus:

√((-x)²) = |x|, da (-x)², immer positiv ist und da (-x)² = x² fällt das Vorzeichen "weg", weshalb du Betragsstriche setzen musst.

Probier's ruhig mal aus:

Für x = -4:

√((-x)²) = √((-(-4))²) = √(4²) = √16 = 4

Für x = 4:

√((-x)²) = √((-4)²) = √16 = 4

Und |-4| = |4| = 4, du musst Betragsstriche setzen.

LG Willibergi

Antwort
von Thor1889, 7

Betrachten wir nur den reelen Bereich ?

Ansonsten ist sqrt(-x) = sqrt(x) * i bzw. j

i/j : imaginäre Einheit

Dann handelt es sich um eine s.g. komplexe Zahl

Antwort
von austinsnicket, 11

Die Wurzel aus -x ist nur möglich, wenn x negativ ist, damit der Radikant positiv bleibt. Das heißt,  bei x kleiner 0 muss -x stehen, bei x größer 0 muss x stehen.

Was auch geht, ist dass du Betragsstriche benutzt.

Kommentar von Willibergi ,

Als kleine Korrektur: Ich muss nicht unbedingt negativ sein, sondern nur nicht-positiv, da √-0 ebenso in ℝ definiert ist.

LG Willibergi

Kommentar von austinsnicket ,

Ja stimmt, hast recht

Antwort
von claushilbig, 3

 wie soll ich dann schreiben, dass x<0 sein muss (also mit Definitionsmenge oder so)?

ID = { x € IR | x ≤ 0}

(Das € soll das "Element aus"-Zeichen darstellen, das finde ich gerade nicht ...)

Wohlgemerkt: x  0, nicht x < 0, denn -0 = 0, also ist √-x für x = 0 auch definiert.

Antwort
von Xayoyo, 10

also eig. wenn die zahl unter der wurzel negativ ist gibt es keine lösung. man denkt ja -4² ist 16. ist ja eig. richtig aber die wurzel aus 16 ist ja nicht -4 sondern 4. also eig. wäre die antowort einfach : es gibt keine lösung

Kommentar von Willibergi ,

In deiner Antwort sind ein paar Ungenauigkeiten.

(-4)² = 16, aber -4² = -16

Die Wurzel einer Zahl ist als positiv definiert, -4 ≠ √16!

Und -x muss nicht negativ sein.

LG Willibergi

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