Frage von Feli0504, 50

Ist die Lösung des Integrals richtig?

Ich muss morgen diese Aufgabe im Kurs vorstellen, aber wollte nochmal sichergehen, ob ich keine Fehler eingebaut habe, denn es ist die erste Aufgabe die ich mit dem Typ 2 der Substitutionsmethode gelöst habe. Danke für eure Hilfe! und tut mir leid, ich kann die aufgabe leider nicht als Datei aus irgendeinem Grund hochladen..

Aufgabe: Substituiere so, dass die Wurzel wegfällt.∫x/Wurzel(1-x) dx

Substitution:

x= z^2+1

Differentiale:

x’=dx/dz= 2z → dx= 2z ∙ dz

Einsetzen von 1. Und 2. Ins Integral:

∫x/Wurzel(1-x) dx = ∫z^2+1/z ∙2z dz= ∫2(z^2+1)dz=∫2z^2+z dz =(2z^3)/3+2𝑧+𝐶=2(z^3/3+z)+C

Resubstitution:

x= z^2+1

z= Wurzel(x-1)

2(Wurzel(x-1))^3/3+Wurzel(x-1)+C

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 22

z=wurzel(1-x)

z²=1-x

x=1-z²

dx = -2z dz

int ( (1-z²)/z • (-2z) ) dz

=int( -2+2z² ) dz

= -2z + 2/3 z³

resub

(wurzel(x-1)) • ( -2 +2/3 (x-1) )

Lösung

(wurzel(x-1) ) • (-4/3 -2/3 x)

Kommentar von Feli0504 ,

Danke :) so hätte ich es jetzt auch nach meiner Fehlerbehebung der Subsitutionsfunktion gemacht :)

Kommentar von Feli0504 ,

abgesehen von der Lösung. Müsste es nicht heißen (wurzel(1-x)), anstatt (wurzel(x-1))?

Kommentar von Ellejolka ,

ja,klar überall 1-x

Antwort
von lks72, 26

Mit deiner Substitution hast du in der Wurzel: wurzel1-(z^2+1)) = wurzel(-z^2), und das geht schon mal gar nicht.

Kommentar von Feli0504 ,

ah mist stimmt ich habe vergessen dass sich die Vorzeichen ändern. hätte es dann heißen müssen x=-z^2-1?

Kommentar von lks72 ,

Nein, 1-z^2, dann hast du 1-(1-z^2) = 1-1+z^2 = z^2

Kommentar von Feli0504 ,

Dankeschön! :)

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