Ist die identische Kardinalität zweier endlicher Mengen eine Grundvorraussetzung damit eine bijektive Abbildung auf diesen Mengen existieren kann?

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2 Antworten

Ja, die selbe Kardinalität ist eine Grundvoraussetzung für eine Bijektion. Und das nicht nur aus den "intuitiven" Gründen, die du genannt hast, sondern aus der Definition der Kardinalität selbst.

Intuitiv stimmt das Ganze, was du gesagt hast, für endliche Mengen. Es stimmt sogar für unendliche Mengen.

Wenn du endliche Mengen mit gleicher Kardinalität hast, kannst du dir selbst eine Bijektion bauen, das machst du durch Induktion.

Haben beide Mengen A und B ein Element, so gibt es nur eine Funktion A -> B, diese ist trivialerweise eine Bijektion.

Haben beide Mengen A und B genau n > 1 Elemente, so wählst du dir ein a aus A und ein b aus B aus (ohne Auswahlaxiom, da die Mengen endlich sind). Jetzt bekommst du aus der Induktionsvoraussetzung eine Bijektion g: A\\{a} -> B\\{b}, da beide Mengen n-1 Elemente haben. Du definierst jetzt f: A -> B mit f(x) = b, falls x = a und f(x) = g(x), falls x ≠ a. f ist die Summe (hier intuitiv zu denken als "Fusion") zweier Bijektionen, und somit auch eine Bijektion.

Jetzt zu den Definitionsgründen von vorhin. Wenn A und B unendlich sind, kannst du dir zwar nicht mehr so leicht deine Bijektionen bauen (ohne Auswahlaxiom), aber diese brauchst du gar nicht mehr, das folgende Argument klappt auch bei endlichen Mengen. Die Kardinalität ist DEFINIERT als Äquivalenzklasse auf den Mengen, und |A| = |B| gdw. es eine Bijektion A -> B gibt. Die Kardinalzahl einer Menge sieht also in etwa so aus: |X| = "{M Menge | es gibt Bijektion b: X -> M}". |X| ist also die Klasse aller Mengen, zu denen wir eine Bijektion bekommen. Das ganze etwas unformell (weil wir nicht wirklich berechtigen können, warum das eine wohldefinierte Klasse ist), aber so lassen wir es mal. Offensichtlich ist X in |X| enthalten.

Wenn du also annimmst, dass |A| = |B|, dann nimmst du nach Definition bereits an, dass es eine Bijektion A -> B gibt, du hast also nichts weiter zu tun. Denn wenn |A| = |B| und A in |A|, dann ist A auch in |B|, also gibt es eine Bijektion b: B -> A.

LG

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Kommentar von kreisfoermig
07.10.2016, 10:12

Eigentlich ist dies nicht ganz richtig. Die Gleichheit der Kardinalitäten von A und B, auch im endlichen Falle, setzt die Existenz einer Bijektion dazwischen voraus. Nicht anders herum.

Die Zahl 3 zum Beispiel ist nicht primitiv; das primitive Konzept ist „Mengen, die bijektiv zu {0,1,2} stehen“, woraus sich der Begriff „3“ ergibt.

Dein Verfahren zur Konstruktion von einer Bijektion ist auch nicht ganz richtig: „Du“ kannst keine Bijektion bauen, denn die Endlichkeit einer Menge ist uns nicht zugänglich: es gibt relativ zum System endliche Mengen, die uns als Bediener der mathematischen Objekt aber unendlich erscheinen. Ein Modell von Mengenlehre mit uns erscheinenden unendlichen endlichen Mengen erhält man mittels des Kompaktsatzes. Dass A endlich ist heißt nicht, dass ich die Elemente nach und nach rauspicken und irgendwann fertig damit sein kann.

Aufgrund dessen definiert man Endlichkeit anders, bspw. durch den Begriff von Dedekind. Und das sind alle interne Definitionen.

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Jup richtig, da die Abbildung surjektiv ist hat die Zielmenge maximal so viele Elemente wie die Urbildmenge (da ein Element nicht auf 2 geschickt werden kann)
Da sie injektiv ist, mindestens so viele.
--> Beide Mengen haben gleich viele Elemente/gleiche Kardinalität.

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