Frage von nikeadidassport, 21

Ist die definitionslücke die polstelle?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 6

Jede Polstelle einer ℝ-ℝ-Funktion ist natürlich eine Definitionslücke.

Umgekehrt kann eine Definiitionslücke eine Polstelle sein, muss aber nicht.

Sogenannte "hebbare Definitionslücken" haben die anderen Antworter schon genannt. Z. B. bei gebrochen-rationalen Funktionen ist eine Definitionslücke x₀ hebbar, wenn x₀ eine Nullstelle des Zählers von wenigstens ebenso hohem Grad ist wie des Nenners.

Wenn x₀ aber eine Nullstelle höheren Grades des Nenners ist, haben wir nach wie vor eine Polstelle. (Beispiel: (x-1)/(x-1)^2, x₀=1)

Reguläre Stellen, hebbare Definitionslücken und Polstellen sind alle (1) Singularitäten einer gebrochen-rationalen ℝ-ℝ-Funktion. Andere Funktionen können noch weitere Arten von Definitionslücken haben.

(1) gemeint sind hier prinzipbedingte Definitionslücken. man kann natürlich immer auch willkürliche Definitionslücken einführen, indem man z. B. sagt:

f(x) = x, falls x ≠ 2

und f(x) für 2 undefiniert lässt.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 14

Nicht immer.

Bei der Funktionsgleichung f(x) = x/x ist x = 0 zwar eine Definitionslücke, aber keine Polstelle.

In dem Falle spricht man von einer behebbaren Definitionslücke.

Kann der Funktionsterm mit Definitionslücke aber nicht so weit vereinfacht werden, dass ein Funktionsterm ohne Definitionslücke herauskommt, ist die Definitionslücke die Polstelle.

Das ist zum Beispiel bei der Funktion g(x) = 1/x der Fall. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 6

Setzt Du die Definitionslücke in die Funktionsgleichung ein und erhälst 0/0, dann hast Du eine behebbare Definitionslücke, d. h. der Graph wird "keine sichtbare Lücke" haben, da der Grenzwert von links und rechts Richtung Def.-Lücke gleich ist. Ist der Zähler jedoch nicht Null, dann hast Du an der Def.-Lücke eine Polstelle.

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