Frage von precursor, 39

Ist die Berechnung des Funktionswertes der Stammfunktion an nur einer einzelnen Stelle für x möglich ohne eine Reihenentwicklung zu verwenden?

Hier mal eine ausgedachte Funktion -->

f(x) = (1 / √(x ^ 3 + 1)) ^ (1 / (sin(x ^ 2) + 2))

Diese Funktion habe ich absichtlich so gewählt / konstruiert, dass sie nicht elementar integrierbar ist und das bestimmen der Ableitungen sehr schnell ziemlich zeitaufwendig / lästig wird, und damit eine Reihenentwicklung ebenfalls lästig wird.

Außerdem soll hier mal davon ausgegangen werden, dass einen diese Funktion nur für x >=0 interessiert.

Diese Funktion wird auch eine Stammfunktion haben, auch wenn diese nicht elementar darstellbar ist, zumindest glaube ich das.


Meine Frage lautet nun -->

Wie kann ich den Funktionswert der Stammfunktion an einer konkreten / exakten Stelle x, zum Beispiel genau an der Stelle x = 1.5 berechnen, OHNE auf eine Reihenentwicklung für f(x) zur Berechnung zurück zu greifen ?

Meine Frage soll generell gelten, die Funktion von oben habe ich nur als Beispiel verwendet.

Ich hoffe ich habe meine Frage hinreichend genau formuliert, so dass man versteht worauf ich hinaus will und was ich möchte.

Methoden aus der numerischen Mathematik sind willkommen !

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Roach5, 23

Nach was du suchst ist grob gesagt Integration von Funktionen, ohne Taylorreihen oder die Stammfunktion explizit zu verwenden, richtig?

Da gibt es sehr viele Methoden, da kann man nichtmal ein Buch drüber schreiben, da würde es eine Bibliothek zu geben. Die primitivste Methode ist, Dinge wie Substitution oder partielle Integration rekursiv zu benutzen. Du kannst auch eine Konstante in deinem Integranden zu einem Parameter machen und Differentialrechnung bezüglich des Parameters betreiben, das wirkt wunder.

Du kannst komplexe Analysis verwenden, und in manchen Fällen schlaue geschlossene Konturen wählen, um das Integral herauszukriegen. Residuen sind schon was tolles.

Wenn deine Funktion keine Reihenentwicklung hat, hat sie vielleicht eine Fourierentwicklung, diese ist numerisch etwas stabiler, und das Integral zu berechnen ist dann einfach.

Wenn algebraisch wirklich GARNICHTS hilft (und normalerweise hilft immer etwas exotisches aus dem Paulanergarten), dann gibt es nurnoch die unexakte Integration, wie das geht erkläre ich dir jetzt aber nicht, das würde die Antwort sprengen. Gibt aber genug Computergestützte Verfahren, die die Integrale beliebig genau berechnen.

LG

Kommentar von precursor ,

Ja, mir geht es um die Berechnung von Funktionswerten der Stammfunktion an gewünschten Stellen von x (Integrationskonstante soll als C=0 angenommen werden) ohne Taylorreihen benutzen zu müssen bzw. ohne die Ableitungen bilden zu müssen.

Vielen Dank für deine Antwort !

Kommentar von Roach5 ,

Stammfunktion ist ja nichts weiter als das Integral von c bis x von f(t)dt, wobei dann c so gewählt ist, dass (c,x) keine Polstellen enthält und das Integral existiert. Dafür gibt es oben genannte numerische Verfahren.

Antwort
von abibabo, 7

Es gibt tonnenweise verschiedene numerische Integrationsverfahren. Unterschiedliche Aufgaben- bzw Funktionstypen brauchen unterschiedliche Methoden. Diese konvergieren unterschiedlich schnell usw.

Im Kern bleibe ich bei meiner Aussage: die numerische Integration liefert dir auch Funktionswerte von nicht integrierbaren Funktionen. Ich muss nur eine beliebig kleine epsilon Umgebung um x definieren und den Wert des Integrals für eine immer kleiner werdende Umgebung berechnen. Dies konvergiert dann gegen den von dir gesuchten Wert.

Got it?

Viele Grüße

Abibabo

Kommentar von precursor ,

Erst mal Danke für deine Antwort !

Das stimmt nur leider nicht !! -->

http://goo.gl/SsvcYD

Wenn du die Umgebung immer kleiner machst, also das Integrationsintervall immer kleiner werden lässt, dann konvergiert es gegen Null und nicht gegen den Funktionswert der Stammfunktion !

Antwort
von abibabo, 2

Du hast Recht. Dann fällt mir dann auch nur die Taylorreihe ein (also deren Integration inklusive Fehlerabschätzung).

Viele Grüße

Kommentar von precursor ,

Ok, vielen Dank für deine Antwort !

Antwort
von abibabo, 12

Das Teilgebiet der Mathematik, dass du suchst, nennt sich Numerik. Hier ist es die Numerik der Analysis bzw. die numerische Integration. Superinterssant und spannend, es gibt nämlich in der Praxis viel Integrationsbedarf für nicht integrierbare Funktionen (so wie deine).

Hilft das?

Abibabo.de

Kommentar von precursor ,

Mir geht es nicht um die numerische Integration, sondern um die Berechnung von Funktionswerten der Stammfunktion an gewünschten Stellen von x (Integrationskonstante soll als C=0 angenommen werden).

Ich danke dir aber vielmals für deine Antwort !

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