Frage von Bthomast, 55

Ist die Ableitung einer achsensymmetrischen Funktion in der Regel eine punktsymmetrische Funktion?

Z.B.

d/dx cos(x) = sin(x) ->passt zumindest auf einem gewissen Intervall

d/dx abs(x) = -1 für x<0, 1 für x>0 -> passt auch

Bei Polynomen passt es ebenfalls, da ja Polynome vom Grad n sich durchs differenzieren auf den Grad n-1 verringern; zumindest, wenn nur gerade Polynomterme auftreten wie z.B. bei f = x^4 + x^2 + 5

Lässt sich das allgemein bestätigen? Gibt es dazu einen mathematischen Satz?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 17

Hallo,

achsensymmetrisch bedeutet, daß eine Funktion links und rechts von einer Achse, die nicht notwendigerweise die y-Achse sein muß, gleiche Werte aufweist. Dann müssen notwendigerweise auch die Steigungen an diesen Stellen übereinstimmen (natürlich mit umgekehrtem Vorzeichen). Somit ist auch die Ableitung an den Stellen links und rechts von der Achse gleich (auch wieder mit jeweils umgekehrtem Vorzeichen), was letztendlich eine Punktsymmetrie bedeutet.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathematik, 38

Wenn Du die Ableitung an einer Stelle -x0 mit Hilfe des Grenzwertes des Differenzenquotienten berechnest und dabei die Achsensymmetrie von f ausnutzt, solltest Du auf die gewünschte Beziehung stoßen :-)

Antwort
von lks72, 7

Wenn die Funktion in einem Intervall um 0 herum differenzierbar ist und dort achsensymmetrisch, dann ist die Ableitung dort punktsymmetrisch zu (0 / 0). Dies kann man auch recht einfach zeigen.

f(x) = f(-x) wegen der Achsensymmetrie

Die Ableitung links ist f ' (x) und rechts die Ableitung - f ' (-x). Beide Ableitung sind gleich, weil die Funktionen selbst gleich sind, also

f ' (x) = - f ' (-x),

und das ist genau die Punktsysmmetrie.

Antwort
von kepfIe, 28

Ja und Jein. Das is halt so, der hat jetzt keinen wirklichen Namen wie z.B. Satz von Gauß oder Satz von Lie.

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