Frage von emily2244, 59

Ist die Ableitung ein Grenzwert?

Warum?

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, 4

Ja, die Ableitung gibt die Sekantensteigung eines Graphen an, bei dem die beiden Schnittpunkte unendlich nah (also Grenzwert gegen Null) bei einander liegen.

Das entspricht dann der Tangentensteigung und somit der Ableitung an einem bestimmten Punkt.

Formal bedeutet das:

                           f(x + h) - f(x)
f'(x) = lim_h→0  ——————
                                   h

h ist dabei der Abstand der beiden x-Werte der Schnittpunkte und wird irgendwann (fast) null.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, nur her damit! :) 

LG Willibergi

Antwort
von vitus64, 28

Die Ableitung wird über Grenzwerte hergeleitet. Der Wert der Ableitungsfunktion gibt aber die Steigung der Funktion an der betreffenden Stelle exakt wieder

Kommentar von emily2244 ,

Aber dann ist doch die Ableitung der Grenzwert?

Kommentar von vitus64 ,

Ja natürlich. Aber deine Fragen zu dem Thema lassen darauf schließen, dass du bezweifelst, dass das ein exakter Wert ist und es nur für eine Näherung hältst. Es ist aber ein exakter Wert.

Kommentar von emily2244 ,

Aber ein Grenzwert wird doch von der Funktion niemals erreicht ?

Kommentar von vitus64 ,

Wir reden hier nicht vom Funktionswert, sondern von der Steigung der Tangente am Graphen einer Funktion in einem bestimmten Punkt. Und die ist exakt definiert.

Kommentar von emily2244 ,

Hä wie?

Kommentar von PeterKremsner ,

Ich glaube du hast noch starke Verständnissprobleme mit dem Mathematischen Begriff Grenzwert, du musst den Grenzwert in Gedanken von den Funktionen trennen. (natürlich hängen die Begriffe schon zusammen, aber anders als du annimmst)

Die Funktion erreicht vielleicht nicht den Grenzwert, aber der Grenzwert selbst erreicht den Grenzwert und das ist das Essentielle. Es geht hier wie gesagt nicht darum was die Funktion (Differentenquotient) so macht sondern nur rein um den Grenzwert.

Antwort
von PeterKremsner, 44

Ja ist sie...

Die Ableitung ist definiert als: lim h->0 von (f(x+h)-f(x))/h

Kommentar von emily2244 ,

Also gibt die Ableitung nur näherungsweise die Steigung an?

Kommentar von W00dp3ckr ,

Sie ist ja ein Grenzwert. Also gibt sie genau die Steigung an, sofern die Funktion ableitbar ist.

Kommentar von PeterKremsner ,

Nein, sie gibt die Steigung im jeweiligen Punkt an.

Die Näherung für die Ableitung ist der sogenannte Differentenquotient:

(f(x+h)-f(x))/h

solange das h nicht 0 wird ist das nur eine Näherung für die Steigung.

Oft wird dafür auch der Symmetrische Differentenquotient verwendet:

(f(x+h)-f(x-h))/h

Der Differentenquotient wird für die nummerische Berechnung der Ableitung verwendet, so rechnen zB die einfachen Taschenrechner die Ableitungen aus.

Kommentar von emily2244 ,

Ja aber Grenzwerte werden doch von der Funktion niemals erreicht? :(

Kommentar von PeterKremsner ,

Nein nicht ganz...

Es stimmt dass eine Funktion in der Realität ihren Grenzwert nie erreicht, denn dafür müsste das Argument beliebig groß werden.

Für die Funktion e^-t ist der Grenzwert 0, den würde sie aber erst bei t->unendlich erreichen und du kannst in der Realität niemals unendlich lange warten.

In der Mathematik ist das aber schon möglich und das ist im Prinzip genau das was die Grenzwertberechnung ja eigentlich ist.

Für die Funktion e^-t ist der Grenzwert ja lim t->unendlich e^-t.

Die Motivation dahinter ist, in der Realität werd ich nie unendlich lang warten können, ich will aber wissen welchen Wert diese Funktion nach unendlich langer dauer erreicht und darum bemühe ich die Mathematik.

Der Grenzwert ist also in etwa so etwas wie ein unendlich schneller Zeitraffer, ich kann sagen, was tut die Funktion nach unendlich langer Zeit ohne dass ich diese Zeit tatsächlich abwarten muss.

Antwort
von Borgler94, 11

nein die Ableitung ist kein Grenzwert

Kommentar von PeterKremsner ,

Natürlich ist sie das, die Ableitung ist der Grenzwert des Differentenquotienten.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community