Frage von zhsrh, 67

Ist die 4. Dimension die Zeit?

Ich weiss ja, dass die 3. Dimension der Raum ist.

Ich habe schon oft gelesen, dass die 4. Dimension die Zeit ist.

Seit dem ich es in einem Film (Interstellar) gesehen habe geht es mir nicht mehr aus dem Kopf. Kann mir das jemand darstellen das ich es mir irgendwie vorstellen kann? :)

Antwort
von SlowPhil, 12

Ich werde im Folgenden erst einmal »nur« verbal auf die einzelnen Teile der Frage eingehen, aber die Mathematik sollte auch nicht zu kurz kommen. Auf sie gehe ich in einem Anhang ein.

Ich weiss ja das die 3. Dimension der Raum ist.

Nein, der Raum ist nicht »die 3. Dimension«, denn er selbst ist ja dreidimensional.  Dafür gibt es zwei verschiedene Diktionen, eine gebräuchlichere und eine »mathematische«:

  • Sagt man »Ein Raum hat 3 Dimensionen«, bedeutet das Wort »Dimension« so etwas wie Hauptrichtung (x,y, und z bzw. x₁, x₂ und x₃), die sich durch aufeinander senkrecht stehende Achsen darstellen lassen; diese Achsen bilden ein Koordinatensystem.
  • Sagt man »Ein Raum hat die Dimension 3«, bedeutet das Wort »Dimension« so etwas wie die Anzahl der Hauptrichtungen.¹)
  • Als Dimension wird in der Physik auch eine physikalische Größe respektive eine Maßeinheit bezeichnet.  

Ein Koordinatensystem K₁ lässt sich durch Drehung in ein anderes, K₂, überführen, wobei die »neuen« Koordinaten von den »alten« abhängen²).

Ich habe schon oft gelesen das die 4. Dimension die Zeit ist.

Das ist etwas unpräzise. Formal lässt sich die Zeit t mit den Hauptrichtungen des Raumes auch schon »klassisch« zur Raumzeit zusammenfassen - je nach Maßsystem multipliziert mit einer Konstante von der Dimension (im letzten Sinne) einer Geschwindigkeit, etwa c.

Allerdings wird ct üblicherweise nicht als x₄, sondern als x₀ bezeichnet; wie die 0 unter den Natürlichen Zahlen eine Sonderrolle einnimmt, nimmt auch die Zeit eine Sonderrolle unter den Richtungen der Raumzeit ein - auch im Rahmen der Relativitätstheorie.

Diese berücksichtigt, dass Raum und Zeit nicht unabhängig voneinander sind. Relativ zueinander bewegte Koordinatensysteme werden durch die Lorentz-Transformation³) miteinander verbunden, und die ist gewissermaßen eine Drehung in der Raumzeit (s. Anhang).

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Formale Darstellung des Raumes

¹) Eine mathematische Darstellung des gewöhnlichen Raumes (allerdings eine idealisierte) ist der dreidimensionale Vektorraum ℝ³.

In diesem Falle ist die Dimension, etwas präziser, die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in diesem (Vektor-)Raum, etwa die in die Hauptrichtungen weisenden Einheitsvektoren |e₁›, |e₂› und |e₃›, aus denen man jeden beliebigen Vektor

|x› = x₁|e₁› + x₂|e₂› + x₃|e₃›

des ℝ³ bilden kann. Als das Koordinatensystem lässt sich als

K = {|e₁›, |e₂›, |e₃›}

auffassen. Dabei werden x₁, x₂ und x₃ als Komponenten von |x› bezeichnet. Sie heißen auch die Koordinaten desjenigen Punktes X(x₁|x₂|x₃), der vom Ursprung O(0|0|0) aus über |x› zu erreichen ist. 

In der Physik ist der Raum natürlich in der Regel nicht der »nackte« ℝ³, sondern (immer noch idealisiert) der ℝ³ in Verbindung mit einer Dimension im letztgenannten Sinne, etwa der einer Länge oder auch der einer Geschwindigkeit oder eines Impulses.

Räumliche Drehung um eine Achse

²) Beispiel: Drehung um die x₃-Achse um den Winkel φ:

(1.1) x₁₂ = x₁₁·cos(φ) – x₂₁·sin(φ)
(1.2) x₂₂ = x₁₁·sin(φ) + x₂₁·cos(φ)

Der erste Index bezieht sich auf die Hauptrichtung, der zweite auf das Koordinatensystem.

Lorentz-Transformation

³) Bewegt sich das Koordinatensystem K₁ mit |v› = v|e₁› relativ zu einem anderen Koordinatensystem K₀, so ist

(2.1) t₀ = γ(t₁ + v·x₁₁/c²)
(2.2) x₁₀ = γ(x₁₁ + v·t₁)

mit

(3) γ = 1/√{1 – (v/c)²}.

Mit

(4.1) x₀ = ct

und der sog. Rapidität

(4.2) ς = arcosh(γ) = arsinh(γ(v/c)) = artanh(v/c),

die eine Art Drehwinkel in der Raumzeit (mit Hyperbelfunktionen anstelle der trigonometrischen Funktionen) darstellt, lassen sich (2.1) und (2.2) in die Form

(5.1) x₀₀ = x₀₁·cosh(ς) + x₁₁·sinh(ς)
(5.2) x₁₀ = x₀₁·sinh(ς) + x₁₁·cosh(ς)

bringen, was große Ähnlichkeit mit (1.1) und (1.2) hat. Dass hier die Rapidität an die Stelle eines Winkels tritt, hängt mit der speziellen Metrik der Raumzeit zusammen. Es entspricht einer Drehung um die x₂-x₃-Ebene.

Abstand im Raum und in der Raumzeit

Das Quadrat des Abstandes zweier Punkte X₁(x₁₁|x₂₁|x₃₁) und X₂(x₁₂|x₂₂|x₃₂) im Raum ist durch die Euklidische Metrik

(6) (x₁₂ – x₁₁)² + (x₂₂ – x₂₁)² + (x₃₂ – x₃₁)²

gegeben, und räumliche Drehungen ändern (6) nicht, oder, wie man auch sagt, sie lassen sie invariant.

In der Raumzeit heißen zwei so Punkte Ereignisse.

Das Abstandsquadrat zweier Ereignisse E₁(x₀₁|x₁₁|x₂₁|x₃₁) und E₀(x₀₀|x₁₀|x₂₀|x₃₀) in der Raumzeit ist durch die von Einsteins Lehrer Hermann Minkowski formulierte Minkowski-Metrik

(7) (x₀₀ – x₀₁)² – { (x₁₀ – x₁₁)² + (x₂₀ – x₂₁)² + (x₃₀ – x₃₁)² }

gegeben, die genau genommen wegen des Minuszeichen keine Metrik ist, da sie indefinit ist; man spricht auch von einer uneigentlichen Metrik. Das Abstandsquadrat kann nämlich für verschiedene Ereignisse 0 sein, und es kann auch negativ werden.

Ist es positiv, heißt der Abstand zeitartig.
Ist es gleich 0, heißt der Abstand lichtartig.
Ist es negativ, heißt der Abstand raumartig.

Im letzten Fall ist übrigens die zeitliche Reihenfolge nicht klar definiert und abhängig davon, welches Koordinatensystem man als das ruhende betrachtet.

Minkowski-Diagramm

Um anschauliche Bilder zu erhalten, kannst Du nach dem Stichwort »Minkowski-Diagramm« googeln; hier unten gibt es jedoch einen Video-Vortrag:

Kommentar von MenMen1996 ,

der Hammer danke jetzt hab ich es verstanden viele vielen Dank

Antwort
von MenMen1996, 38

https://www.youtube.com/shared?ci=00tz1W3yop4

Müsste eigentlich ganz gut erklärt haben

Kommentar von MenMen1996 ,

und nein die Zeit ist es nicht wen überhaupt das ist es Gravitation

Kommentar von SlowPhil ,

Die Gravitation ist keine Dimension, sondern eine Verzerrung in der (1+3)D-Raumzeit.

Antwort
von PWolff, 21

Ja: Die Welt, in der wir leben, die Raumzeit, hat 3 Raumdimensionen und eine Zeitdimension. Durch 4 Koordinaten wird jedes Ereignis innerhalb der Raumzeit "lokalisiert".

Antwort
von soissesPDF, 13

Urknall ist klar, oder.
Durch ihn enstanden Raum und Zeit.
Raum ist soweit auch klar, die Zeit sind die 14 Milliarden Jahre seither.

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