Die Küche mit Spüle war beim Bezug schon in der Wohnung drin. Wenn die Armatur nun leckt, muss der Vermieter das in Ordnung bringen?

Prinzipiell ja; es ist doch seine Spüle und seine Armatur, oder?
Er ist normalerweise dafür zuständig, wenn nicht in eurem Mietvertrag eine sog. Kleinstreparaturklausel enthalten ist, wonach ihr solche Reparaturen bis zu einem gewissen Höchstwert -sind meistens so um die 100 €- selbst durchführen und bezahlen müsst. Viele Mietverträge enthalten diese Klausel.
Das Auswechseln einer Armaturendichtung ist mit Sicherheit Aufgabe des Mieters. Wenn eine Glühbirne in der Lampe kaputt ist. machst du den Austausch doch auch selbst.