Frage von General001, 33

Ist das so richtig beschrieben (Physik)?

Ich habe mir gerade versucht die Halbwertszeit zu erklären wobei ich mir folgendes gedacht habe:

Da zu Beginn die Wahrscheinlichkeit für einen Zerfall eines Kernes in einer  Sekunde am größten ist zerfallen dabei relativ viele Kerne in einer bestimmten Zeit und es werden viele Atome beziehungsweise Moleküle ionisiert. Da immer mehr Kerne zerfallen nimmt auch die Wahrscheinlichkeit für einen Zerfall eines Kernes in einer Sekunde ab und es zerfallen weniger Kerne in einer bestimmten Zeit weshalb sich auch die Ionisirung abnimmt. Sind nur noch die Hälfte übrig so hat sie auch die Wahrscheinlichkeit beziehungsweise die Ionisirung halbiert.

Als Halbwertszeit bezeichnet man somit die Zeit die benötigt wird damit die Hälfte von einer beliebigen Anzahl an Kernen durch Strahlung zerfallen ist.

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 16

Am Anfang hat tatsächlich eine Größe ihren Maximalwert, aber nicht etwa die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Kerns, in einen Zeitabschnitt zu zerfallen, sondern schlicht und ergreifend die Anzahl der Atomkerne dieses betreffenden Nuklids.

Das ganze ist sie Bakterienwachstum, nur umgekehrt. Wenn sich jedes Bakterium in durchschnittlich einer Stunde einmal teilt, dann ist diese eine Stunde eben die Verdopplungszeit des Bakteriums, das heißt nach jeweils einer Stunde, unbegrenzten Platz und unbegrenzte Ressourcen vorausgesetzt, verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien, einfach dadurch, dass sich jedes einzelne verdoppelt.

Bei z.B. ¹⁴C (das ist einfach, weil die Zerfallskette kurz ist, denn ¹⁴N ist bereits stabil) kannst Du modellhaft je 2 ¹⁴C - Kerne al Gruppe zusammenfassen (muss nicht räumlich zusammengehören), und dann ist im Schnitt nach 5730 Jahren eines zu ¹⁴N geworden, und das Verbliebene muss sich einen neuen Partner suchen. Weil sich jede einzelne Zweiergruppe nach 5730 Jahren halbiert, geschieht das auch mit der Gesamtmenge, und zwar unabhängig von der Zahl der Zweiergruppen.

Mathematiker und Physiker drücken das in Form einer Differentialgleichung aus:

dn/dt = – λt = – ln(2)/T_{½} t,

wobei λ die Zerfallskonstante heißt. Solche Gleichungen sind leicht zu lösen, wenn man weiß, dass

(d/dt) e^{αt} = α e^{αt}

ist. Die allgemeine Exponentialfunktion lässt sich nicht ganz so leicht ableiten, deshalb rechnet man erst mal in eine Exponentialfunktion zur Basis e um.

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 19

Deine Erklärung ist nicht ganz richtig. Das exponentialgesetze mit der festen Halbwertszeit rührt daher, dass die Wahrscheinlichkeit, in der nächsten Sekunde (Minute, Stunde, Tag, Monat, Jahr, Jahrzehnt etc., je nach der Langlebigkeit des Nuklids) zu zerfallen, für jeden einzelnen Kern konstant ist.

Antwort
von WeicheBirne, 9

Wie SlowPhil schon erwähnt hat, bleibt die Wahrscheinlichkeit für einen Kernzerfall immer gleich. Ich möchte Dir gerne zeigen wie diese Wahrscheinlichkeit mit dem Exponentialgesetz zusammenhängt, das beschreibt wie viele Atomkerne nach einer bestimmten Zeit noch übrig sind.

Ich bezeichne die Wahrscheinlichkeit, daß ein Atomkern in einem bestimmten Zeitintervall Δt zerfallen ist, mit p. Wenn Du nun N Atomkerne hast, kannst Du mit der binomischen Formel die Wahrscheinlichkeit dafür ausrechnen, daß genau k dieser Kerne im Zeitintervall Δt zerfallen sind. Der Mittelwert für die Anzahl zerfallener Kerne ist dabei pN. Wenn Du also schätzen müßtest wie viele Kerne im Zeitintervall Δt zerfallen sind würdest Du den Wert pN wählen. Für eine große Anzahl an Kernen wäre diese Schätzung auch ziemlich genau (selbst in einem Gramm radioaktiver Materie befinden sich schon weit über einer Milliarde Atomkerne).

Deine Schätzung könntest Du mathematisch durch folgende Formel ausdrücken

Δ Ν = - p N

Dabei bezeichnet das Δ N die Änderung der Anzahl an Kernen.

Wenn Du nun statt dessen den Wert für die Anzahl an zerfallenen Kernen pro Zeitintervall berechnen möchtest lautet Deine Formel.

Δ Ν / Δ t = - p / Δ t * N

Interessant wird das für ganz kleine Zeitintervalle, also Δ t -> 0. Der Limes der linken Seite der Gleichung ist für  Δ t -> 0 natürlich die Ableitung von N nach t (die Anzahl an radioaktiven Atomkernen ist ja eine Funktion der Zeit)

lim Δ t -> 0    Δ Ν / Δ t = d N / d t

Auf der rechten Seite können wir auch einen Limes bilden. Bedenke, daß p ja auch von der Zeit abhängt. Wir haben ja ganz explizit gesagt, daß wir p für ein bestimmtes Δ t angeben. Ich möchte hier nicht näher darauf eingehen wie eine Formel für p = p(Δ t) aussehen könnte, Wichtig für uns ist, daß wir auch hier einen Limes bekommen, den wir λ nennen.

lim Δ t -> 0    p / Δ t  =  λ

λ wird meistens Zerfallsrate genannt und ist eine Konstante.

Jetzt haben wir also

d N / d t =  - λ N

Integration von t=0 bis t = t1 liefert uns das exponentielle Zerfallsgesetz.

N(t1) = N e^(- λ t1)

Zum Zeitpunkt t1 sind im Durchschnitt also noch N(t1) Kerne vorhanden.

Nun wollen wir bestimmen wann nur noch die Hälfte aller Kerne vorhanden sind (also die Halbwertzeit t_0.5)

N(t_0.5) = N / 2 = N e^(- λ t_0.5 )

1/2 = e^(- λ t_0.5 )

ln(1/2) = - ln(2) = - λ t_0.5

ln(2) / λ = t_0.5


Jetzt können wir die Halbwertzeit direkt mit der Wahrscheinlichkeit für den Zerfall eines Atomkerns in Verbindung setzen.

lim Δ t -> 0    p / Δ t  = ln(2) / t_0.5

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