Frage von DepravedGirl, 103

Ist das im Bezug auf die Teilbarkeit ganzer Zahlen immer so?

Ich habe eine Frage zu den Teilbarkeitsregeln.

Ich habe folgende Beobachtung gemacht / Idee gehabt -->

14 * 4 = 56

14 * 5 = 70

14 * 6 = 84

14 * 7 = 98

56708498 / 14 = 4050607

Ist durch 14 teilbar.


15 * 4 = 60

15 * 5 = 75

15 * 6 = 90

15 * 7 =105

607590105 / 15 = 40506007

Ist durch 15 teilbar.


21 * 87 = 1827

21 * 39 = 819

21 * 13 = 273

1827819273 / 21 = 87039013

Ist durch 21 teilbar.


784 * 235 = 184240

784 * 167 = 130928

184240130928 / 784 = 235000167

Ist durch 784 teilbar.


Ich möchte fragen, ob das immer so ist, für alle ganzen Zahlen ?

Falls ja, kann man das begründen, warum das so ist ?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 54

Du betrachtest immer nur die letzten drei Ziffern. Erkenne ich dein Prinzip richtig? Da hast du aber Glück gehabt mit deinen Beispielen.

Ich habe das Glück, nur ein Gegenbeispiel bringen zu müssen, nichts mit Induktion oder so. :)

15 teilt 607590105 , aber
15 teilt nicht 607591105, weil 
15 teilt nicht 1000

Das funktioniert bei allen Teilern von 1000. Du kannst zum Beispiel prüfen, ob eine Zahl durch 8 geht, indem du schaust, ob die letzten drei Stellen durch 8 gehen, denn (x*1000 + y) / 8 = x*125 + y (x, y aus IN, y < 1000)

_____________

Achso, jetzt erkenne ich dein Prinzip. Du reihst alle Zahlen hintereinander, die geteilt werden können.

Das geht natürlich. Der Grund ist, dass du das in Summen von 10er oder 100er Potenzen aufteilen kannst und wenn a durch b teilbar ist, dann auch a*10^x. Das ist dann nämlich (a/b)*10^x. Die Summe solcher ganzzahligen Teilergebnisse ist natürlich auch ganzzahlig.


Kommentar von DepravedGirl ,

Erst mal vielen Dank für deine Antwort !

Ich betrachte nicht nur die letzten 3 Ziffern.

Ich zeige es noch mal, wie ich das meine -->

864 * 1 = 864

864 * 179 = 154656

864 * 13 = 11232

864 * 10271 = 8874144

Nun mixe ich diese Ziffern zusammen, ohne sie zu zerreißen, und bastle daraus eine neue Zahl -->

112321546568648874144 / 864 = 130001790010010271

112321546568648874144 ist durch 864 teilbar.

So meinte ich das, ich entschuldige mich dafür, wenn meine Beispiele Schrott waren, oder ich mich nicht ausführlich genug ausgedrückt habe !!

Ich wollte wissen, ob es immer teilbar ist.

Kommentar von Suboptimierer ,

Ich habe es inzwischen bemerkt und in meine Antwort einbezogen ;)

Deine Beispiele waren nicht schrott. Ich habe es nur nicht erkannt. Vielleicht hätten ein oder zwei Erklärungssätze zu deinem Bildungsgesetzt geholfen. Es kann aber auch sein, dass das jeder Hajopai gesehen hätte und ich nur ein Brett vorm Kopf hatte.

Kommentar von DepravedGirl ,

Ich danke dir vielmals für deine gute Antwort !

Kommentar von Suboptimierer ,

Bitteschön!

Kommentar von DepravedGirl ,

;-))

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 19

Wenn du nur Summanden addierst, die einzeln durch eine gemeinsame Zahl a teilbar sind, auch wenn sie als Multiplikanden von Zehnerpotenzen daherkommen, kannst du a immer aus der Summe ausklammern. (Distributivgesetz)

Ist aber trotzdem im ersten Augenblick verblüffend.
Kompliment!

Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine Antwort und danke für das Kompliment !

Antwort
von Rubezahl2000, 10

Natürlich funktioniert das IMMER :-)

Du bildest ja eine Summe aus "Vielfachen" des Teilers.
Die "Vielfachen" hast du teilweise noch mit Zehnerpotenzen multipliziert, dann sind's ja immer noch "Vielfache".

In deinem 1. Bsp zeigst du, dass
56, 70, 84, 98 Vielfache von 14 sind.
Dann sind natürlich auch 100000•56, 10000•70, 100•84, 98
auch Vielfache von 14.
Und wenn du die summierst, kommt 56708498 raus und das ist dann natürlich ebenfalls ein Vielfaches von 14 :-)

Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Antwort
von kepfIe, 55

Rein spontan würd ich sagen ja. So wie du die Zahlen erzeugt hast kann man das ja beliebig mit ner Summe und 10er-Potenzen machen (muss man halt manchmal etwas kreativ werden, aber es geht). Jeder Summand is dann ja am Ende 10^x * 14 * y (wenn wir jetzt mal das erste als Beispiel nehmen), und damit kann man aus jedem die 14 ausklammern, damit ist das alles ein Vielfaches von 14 und steht sogar noch in Beziehung mit den y.

Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Antwort
von Polynomo, 11

Hallo DepravedGirl,

ich stosse erst heute auf Deine Frage , und ich gehe davon aus, dass Du Deinen Taschenrechner ganz schön beansprucht hast.

Sicherlich hast Du aber in der Grundschule auch mal das schriftliche Dividieren gelernt, und dabei kehrt man ja gerade die Multiplikation um :

Weil z.B.  21* 87 = 1827 , ist andererseits  1827 : 21 = 87 , und diese Division geht natürlich auf ohne Rest !!

Wenn Du nun Zahlen, die durch 21 teilbar sind, einfach hintereinander schreibst , erhältst Du natürlich eine neue Zahl, die man ohne viel Aufwand ebenfalls durch 21 teilen kann.

Wenn Du Deine Beispiele betrachtest, erkennst Du, dass das Ergebnis der letzten Division auch ohne TR ganz einfach hinzuschreiben ist, wenn Du die Teilergebnisse betrachtest !!!

Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Antwort
von claushilbig, 12

Ja, das klappt immer. Warum, zeige ich Dir an einem Deiner Beispiele:

21 * 87 = 1.827 => 21 * 87.000.000 = 1.827.000.000
21 * 39 = 819    => 21 * 39.000 = 819.000
21 * 13 = 273

1.827.819.273 / 21 = 1827.000.000 / 21 +  819.000 / 21 + 273 / 21
                               =     87.000.000        +    39.000        + 013
                               =     87.039.013

Also 1.827.819.273 / 21 = 87.039.013

Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Antwort
von cg1967, 18

Ja, ist immer so:

a * 10^(length(a)) / a = 10^length(a)

a * 10^(2(length(a))) / a = 10^(2*length(a))

x * a * 10^(2(length(a))) / a = x * 10^(2*length(a))

usw.

Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

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