Frage von Bananarama100, 45

Ist das folgende Beispiel eine Äquivalenzrelation?

Hallo

ich hab Schwierigkeiten zu zeigen ob die folgende Aufgabe eine Äquvivalenzrelation ist.

Auf der Menge der reellen Zahlen R (reelle Zahlen) definieren wir die folgende Relation R: Eine reelle Zahl x und eine reelle Zahl y stehen in Relation R zueinander, wenn es ein k aus Z gibt

Zeigen Sie, dass R eine Aquivalenzrelation auf R (reelle Zahlen) ist.

x~y⇔x−y=2kπ, mit k € Z

(π bezeichnet hier den halben Kreisumfang)

Also müsste ich jetzt die Transitivität, Reflexivität und Symmetrie zeigen, denn dass sind ja Vorraussetzungen einer Äquivalenzrelation.

Ich hab Probleme das zu zeigen. Ich weiß zwar die Definition dieser Vorraussetzungen, aber mir fällts schwer sowas auch anhand eines Beispiels zu zeigen.

Reflexivität: x ~ x = > 0 = 2 x 0 x π Stimmt das?

Bei der Transitivität und Symmetrie weiß ich nicht wie man das anschreiben soll.

Hoffe jemand könnte mir hierbei weiterhelfen

MfG

Antwort
von FataMorgana2010, 45

Die Idee für die Reflexivität ist richtig, aber du musst es so aufschreiben: 

x - x = 0 => x -x = 2 * 0 * π => x ~ x. 

Und so geht es auch weiter: 

x ~ y und  y ~ z 

=>  x-y = 2 k π  und y-z = 2 k' π 

=> x- z = x - y + y - z = 2 k π - 2 k' π = 2 π (k-k') 

=> x ~ z. 

Kommentar von Bananarama100 ,

aha ok sieht besser als meine version aus, danke dir  :-)   dumme frage, aber was bedeutet k' (ich kenn das irgendwo her xD)

Kommentar von FataMorgana2010 ,

Naja, ich brauche ja für die beiden Differenzen je ein k. Da die nicht den gleichen Namen haben können, nehme ich einmal k und einmal k'. Meinetwegen kannst du die stattdessen auch "Turnschuh" und "Spaghettimonster" nennen, das macht keinen Unterschied. Hauptsache, beide stehen für Elemente aus Z, sind also natürliche Zahlen. 

Mal so aus Neugierde: Wozu brauchst du eigentlich diese Aufgaben? Was machst du? Welches Fach? 

Kommentar von Bananarama100 ,

Haha super Erklärung. Ich mach derzeit den Zivildienst und möchte nachher Mathe studieren ^^.  Je länger ich mich damit beschäftige desto interessanter wirds :-)

Kommentar von Bananarama100 ,

Hab mir bereits das Buch fürs Studium besorgt und versuche Beispiele zu lösen :-)

Kommentar von FataMorgana2010 ,

Ups., ich meinte "sind also ganze Zahlen". 

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