Frage von IIZI9I5II, 68

Ist das ein Untervektorraum?

Hallo, ich habe einen Vektor (x,y) in IR^2 mit der zus. Bedingung: x=0 und y größer oder gleich null.

nur die erste 1. Bedingung ist erfüllt da (0,0) x=0 und y=0

aber bei der 2. Bedingung bin ich mir nicht sicher:

(x,y) + (s,t) // Randbemerkung: für Vektor (s,t) gelten auch x=0 und y größer oder gleich null.// dann wäre doch der Vektor (x+s,y+t) x=0 aber y ungleich null. denn wäre y =0 wären beide vektoren gleich! also ist diese Menge kein Unterraum, da es kein y gibt, dass diese Bedinung erfüllt!

Antwort
von eddiefox, 26

Hallo,

ein Untervektorraum U eines Vektorraumes V muss den Nullvektor enthalten und eine Untergruppe (U,+) der Gruppe (V,+) sein, d.h. mit jedem Vektor
u ∈ U muss U den zu u inversen Vektor -u enthalten, so dass
u + (-u) der Nullvektor ist.

Ist U = {(0;y) ∈ ℝ² | y ≥ 0 } mit der in ℝ² üblichen komponentenweisen Addition, dann gibt es z.B. zu (0;1) ∈ U keinen inversen Vektor (0;y) in U mit
(0;1) + (0;y) = (0;0).

(Der gesuchte Vektor wäre (0;-1), aber der liegt nicht in U !)

U ist also keine Untergruppe von (ℝ², +) und damit ist (U;+)
kein Untervektorraum von (ℝ²;+).

Gruß

Antwort
von Stnils, 42

Die Menge, ich definiere sie mal als U, ist nicht abgeschlossen bzgl. der skalaren Multiplikation und deshalb kein Untervektorraum. 

Sei u ∈ U und u ≠ 0 ∈ IR² , dann ist das Element v := (-1) * u  ∉ U.

Kommentar von IIZI9I5II ,

aber die 2.Bedingung geht doch auch nicht

Kommentar von Stnils ,

Du meinst mit zweiter Bedingung die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition?

Die ist erfüllt. 

Für x:=(x1  x2)^T ∈ U und y :=(y1 y2)^T ∈ U gilt nämlich, dass x1=y1=0 ∈ IR . 

Also ist x1+y1 = 0.

Und weil x2 >= 0 ∈ IR und y2 >= 0  ∈ IR ist nach den Anordnungsaxiomen auf IR auch x2+y2 >= 0 .

Deshalb ist x + y ∈ U.

Kommentar von IIZI9I5II ,

die zweite bedingung besagt doch, dass u,v ∈ U ---> u+v ∈ U

wenn ich aber sage, dass u und v gleich 0 sind dann habe ich doch nicht u,v sondern u,u oder v,v

also als beispiel,

Vektor(0,0) um die bed. zu erfüllen x=0 und y=0 muss ich ja auch den 2Vektor gleich null nehmen (0,0) also sind beide Vektoren gleich null aber die Definition spricht vom Vektor u und v ( also von 2 unterschiedlichen) ...???

Kommentar von Stnils ,

Diese Bedingung muss für alle u , v ∈ U gelten.

Im falle der Gleichheit von u und v gilt sie auch.

Antwort
von Roderic, 54

Nö. Iss keiner.

Kommentar von IIZI9I5II ,

ist meine Begründung richtg? wäre y nur größer null, dann wäre es einer.

Kommentar von Roderic ,

Nein. y muss auch negativ sein können. Nur wenn y Element von ganz IR ist, ist deine Menge überhaupt ein Vektorraum.

Kommentar von IIZI9I5II ,

ja aber mal angenommen ein Untervektorraum definiert eine gerade, die parallel zur z achse verläuft und y in 1 schnedet, dann wäre der y wert des Untertvektorraumes durchgehend 1. also muss y nicht zwingend eines unterraumes für alle IR gelten.

Kommentar von Roderic ,

Langsam junger Fermat. Du bist in IR^2. Woher nimmst du jetzt auf einmal eine z-Achse? ;-)

Kommentar von IIZI9I5II ,

upps.

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