Frage von WillibergiUsermod Junior, 93

Ist 3ⁿ + 4ⁿ = 5ⁿ analytisch lösbar?

Wenn ja - wie?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Rowal, 22

Die bisherigen beiden Antworten, sind die merkwürdigsten, die ich je auf GF gelesen habe. Hier wird nicht nur mit Kanonen auf Spatzen geschossen, sondern hier wird eine Wasserstoffbombe gezündet um eine einzelne Ameise zu töten. Aber auch dieser Vergleich erscheint mir noch um einige Größenordnungen untertrieben.

Eine ganz triviale Lösung ist z.B folgende (für natürliche n): n=1 ist keine Lösung. Für n=2 liegt offenbar eine Lösung vor. Für n=3 gilt 5^n > 3^n + 4^n (nämlich 125 > 91)

Jetzt folgt durch vollständige Induktion 5^n > 3^n + 4^n  für n>=3, denn
5^(n+1) = 5 * 5^n > 5 ( 3^n + 4^n)   nach Induktionsannahme
5 ( 3^n + 4^n) = 5 * 3^n + 5 * 4^n > 3 * 3^n + 4 * 4^n = 3^(n+1) + 4^(n+1)
wwwww (which was what was wanted)

Folglich ist n=2 die einzige Lösung

Antwort
von Ranzino, 49

für alle n > 2 als Integer ? Oh, da habe ich eine Lösung: nein, geht nicht. :D

Nennt sich Fermatsches Theorem und es hat > 300 Jahre gedauert, einen vollständigen Beweis zu erbringen, dass sowas nie funzt. Für Einzelfälle wie n=3 und n=4 gibts schon länger Beweise und Pierre de Fermat hat sowas gleich nach seiner Behauptung, das sowas für n >2 nicht funzt, selber dargelegt.

Für n=2 hingegen gibts natürlich eine Erfolgsmeldung. Das ist auch der simpelste Pythagoras, den es gibt und der ist schon seit antiken Zeiten bekannt. Solche Pythagoräischen Tripel sind mit aufsteigenden Werten immer seltener.

Kommentar von Schachpapa ,

Naja, Fermat hat den Satz beim Lesen eines Buches an den Rand geschrieben und behauptet, er kenne einen Beweis, für den aber wohl gerade der Platz nicht reicht. Leider hat er ihn auch später nicht aufgeschrieben. Man vermutet heute, dass er eine einfachere Version, nicht den allgemeinen Beweis, vor Augen hatte.

Schönes Buch dazu: "Simon Singh: Fermats letzter Satz"

Kommentar von Ranzino ,

Da er Einzelfälle sehr leicht darlegen konnte, glaubte er wohl, dass er das nun ebenso leicht auf höhere Potenzen umlegen kann.

Der Beweis von Wiles jedenfalls hat Grundlagen, welche zur Zeit von Fermat NICHT bekannt waren. Also entweder ist der gute Pierre tatsächlich ein Genie gewesen oder es war einer der seltsamen Zufälle des Lebens und er hat frech was behauptet, was tatsächlich stimmt...ohne einen Schimmer zu haben, was er da vom Stapel gelassen hat. :D  

Antwort
von vitus64, 55

Das ist doch der Satz von Fermat. Die Gleichung a^n+b^n=c^n hat demnach für ganzzahlige a, b, c, n keine Lösung, sofern n>2 ist.

Und für n=1 und n=2 trifft die Gleichung hier ja auch nicht zu.

Der Satz von Fermat wurde vor ca. 20 Jahren von Andrew Wiles bewiesen.

Kommentar von Willibergi ,

Vielen Dank, den Satz kannte ich noch nicht. ;)

LG Willibergi

PS: Für x = 2 ist die Gleichung wahr. ^^

Kommentar von vitus64 ,

Oh, du hast recht

Kommentar von Ranzino ,

den Satz kannte ich noch nicht.

Sagen wir mal so: es gibt sicher jede Menge Mathematiker, die den Beweis selber nicht blicken. Es ist wirklich Hardcore-Mathematik.

Für den normalen Gebrauch heißt es z.B. dass du keine 2 Würfel addieren kannst...zumindest nicht zu einem vollständigen Gesamtwürfel.

Kommentar von Ranzino ,

3² + 4² = 5²  denn  9+16=25   Ist ein antiker Pythagoras und er funzt auch mit allen Vielfachen und Teilern von 3 4 5,  also  z.B. 6 8 10 ( 36+64=100) 

Kommentar von Volens ,

Nützt nichts: Mal 2 ist ja nicht dasselbe wie die nächste Potenz.

Kommentar von Ranzino ,

Meinst jetzt den Umstand, dass es pythagoräische Tripel wie Sand am mehr gibt, aber keine einzige Lösung höherer Potenzen ?  Tja, ist schon seltsam. ;)

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