Frage von DrBackfisch, 69

Ist 0,[periode]9 irrational oder das gleiche wie 1?

Für beide Seiten gibt es gute Argumente. Aber welche ist letztendlich richtig? Oder ist am Ende alles einfach bloß Definitionssache?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von FataMorgana2010, 32

Es ist nicht Definitionssache. Und dafür, dass diese Zahl irrational ist, gibt es nun überhaupt keine Argumente - irrationale Zahlen sind nie peridodisch, das kann schon vom ersten Hinschauen nicht sein. 

0,periode 9 ist eine andere Schreibweise für 1. Mehr nicht. Beide Schreibweisen beschreiben exakt dieselbe Zahl. Da gibt es keinen auch noch so kleinen Unterschied. Jede abbrechende Zahl kann auf diese Weise auch als (oft) gemischt periodische Dezimalzahl geschrieben werden, also etwa

1,5 = 1,4 periode 9

0,3 = 0,2 periode 9

In allen Fällen steht das Gleichheitszeichen dort zu Recht. 

Kommentar von CrEdo85 ,

Und was ist dann mit der Grenzwertbetrachtung der Funktion f(x)=1+1/x ?

Kommentar von Blackasthesky ,

Sind periodische Zahlen nicht irrational? Ich dachte, die Beschreibung "irrational" lässt sich auf alle Zahlen anwenden, dieso zu sagen nur theoretisch vorkommen.
Demnach wäre "periodisch" "irrational" untergeordnet.
Da scheine ich wohl nicht aufgepasst zu haben.
Wie genau lautet das Kriterium einer irrationalen Zahl?

Kommentar von ac1000 ,

Sind periodische Zahlen nicht irrational?

Nein. Siehe meine Antwort.

Demnach wäre "periodisch" "irrational" untergeordnet.

Nein. Du machst den verbreitetsten Schüler- (und Erwachsenen-)Fehler, denn es in Punkto Mathe gibt: Du verwechselst die Schreibweise mit der Sache selbst. Das Dezimalsystem, namentlich die "Kommazahlen", sind eine Schreibweise für Zahlen, das sind nicht die Zahlen selbst.

Glaubst du auch, dass man in der Buchstabenfolge "H"-"a"-"u"-"s" wohnen kann ("Haus" ist gerade mal die Schreibweise im Deutschen, und die Franzosen schreibens "Maison")? - sicher nicht.

Die Zwölf zB kann ich schreiben als "zwölf" (deutsches Zahlwort), "twelve" (englisches Zahlwort), "1100" (im Binärsystem), "XII" (als römische Zahl), "12" (Dezimalsystem), etc. -- Eine Zahl, viele, viele mögliche Schreibweisen.

Entsprechend ergibt zB 1/10 als Kommazahl im Binärsystem eine unendlich Kommazahl, wogegen es im Dezimalsystem einfach nur 0,1 ergibt.

Du verwechselst Probleme eines Schreibsystems (was kann in einem bestimmten Schreibsystem wie geschrieben werden) mit Eigenschaften der Zahl selbst.

Antwort
von ac1000, 13

Periodische Kommazahlen sind NIE irrational. Sie sind nämlich IMMER in einen Bruch umwandelbar (hattet ihr in der sechsten Klasse).

Dein 0,[periode]9 ist also auf jeden Fall rational. Und ja, es ist gleich 1.

Und rational/irrational ist NICHT über Kommastellen definiert.

- Eine Zahl ist rational, wenn sie gleich einem gewöhnlichen Bruch ist (du kannst auch sagen: wenn sie in einen solchen umgewandelt werden kann)

- Eine Zahl ist irrational, wenn sie nicht rational ist, als nicht gleich einem gewöhnlichen Bruch ist (du kannst auch sagen: wenn sie nicht in einen solchen umgewandelt werden kann)

Antwort
von rolle216, 44

Ist genau 1. War damals in der ersten Mathe-Vorlesung ein Diskussionsthema mit einem meiner Kommillitonen. Ich ging davon aus, dass es nicht das Gleiche ist. Der Prof. belehrte mich eines besseren.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 34

Es geht auch so:

10*0,9_=9,9_

(10-1)*0,9_=9

0,9_=9/9=1

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von BVBDortmund1909, 31

Die Zahl ist rational,denn

3*1/3=3/3=0,9999999...=1.

Antwort
von Bossfassade, 52

Nichts von beiden. Es ist eine rationale Zahl da das Ende bekannt ist (9). Es ist ungefähr 1, aber halt nicht genau.

Kommentar von DrBackfisch ,

Wie lautet dann der Bruch zu dieser Zahl, unter der Annahme sie sei rational?

Kommentar von Schachpapa ,

9 Neuntel. Also 1. Es ist genau eins, nicht nur ungefähr!

Kommentar von Bossfassade ,

Okay wenn ich nochmal nachdenke kann man schon sagen dass sie genau 1 ist sorry

Antwort
von kempi87, 36

1/3 = 0.3333....
3× 1/3=0.99999....
3/3=1
=>1=0.999999

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