Frage von WillibergiUsermod Junior, 86

Ist (√-1)² über G = ℝ lösbar?

Ich habe hier gerade eine kleine Diskussion.

Die Frage ist, ob dieser Ausdruck reell lösbar ist.

Meiner Meinung nach ist er das nicht, da zwar die Lösung reell ist, aber für die Auflösung auf die komplexen Zahlen zurückgegriffen werden muss. Oder?

LG Willibergi

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 59

Hallo,

da die Wurzel aus -1 keine reelle Zahl ist, kannst Du sie im Bereich von R auch nicht quadrieren. Daß das Ergebnis wieder eine reelle Zahl ist, besagt nichts, da Du für die Berechnung R verlassen mußt.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von kreisfoermig, 34

deine Frage ergibt nicht gerade sehr viel Sinn. Man fragt, ob ein Ausdruck lösbar ist, nur dann, wenn er mindestens eine Variable enthält. Dein Ausdruck ist ei vollständiger Satz: es ist nichts daran aufzulösen.

Kommentar von Willibergi ,

Die Frage ist, ob der Ausdruck über G = ℝ definiert ist, wenn du so willst. :)

Kommentar von kreisfoermig ,

alles klar—das wäre genau der einzige Sinn dahinter. Da kennst du schon die Antwort, oder: die durch den Ausdruck beschriebenen Berechnungen der vorkommenden Terme sind nicht alle in G berechenbar. Der genaue Ausdruck lässt sich in der Struktur somit nicht interpretieren (modelltheoretisch).

Kommentar von kreisfoermig ,

übrigens solltest du bei der Redeweise etwas vorsichtiger sein. Mathe bedient Begriffe auf eine genaue Weise wie Jura ; )

Die fixierte Redeweise ist:
„ist X^2 + 1 über R lösbar?“ bzw.
„ist X^2+1 = 0 über R lösbar?“
Darunter versteht man: gibt es ein Element, r, in der Struktur R, das nach Substitution den Ausdruck (X^2+1 = 0) erfüllt.

Was du meinst, wäre unter Mathematikern etwas verständlicher, wenn du etwa sagtest „ist dieser Term interpretierbar in R?“

Kommentar von Willibergi ,

Darum habe ich ja G = ℝ geschrieben.

Es ist eben über einer bestimmten Grundmenge lösbar (oder auch nicht ^^).

Ist imho vollkommen korrekt. ^^

LG Willibergi

Kommentar von kreisfoermig ,

Hmmm, du scheinst nicht ganz zu schätzen, worauf ich hinaus will. Mir gehts um deine Formulierung. In Mathe sagen wir etwa „p ist / ist nicht lösbar über dem Körper L(meinetwegen L=R)“ und das normalerweise im folgenden Kontext:

1. K \subseteq L seien Körper/algebraische Strukturen

2. p € K[X] ein Polynom über K oder einfach ein Term mit freier/n Variablen, dessen Bestandteile sonst alle aus K kommen.

Dann „p lösbar über L“ heißt, es gibt a € L, so dass p(a)=0.

Man kann natürlich zu anderen Termen und Gleichungen verallgemeinern. Mein Punkt ist bloß, niemand fragt ob eine Konstante in einer Struktur lösbar ist, sondern nur, ob sie dort existiert bzw. es ein Objekt gibt, dass den Term sinnvoll interpretiert. Über L lösbar / über G=R lösbar, etc. bedeuten was anderes.

Antwort
von QuestLeo, 65

Nein, dieser Audruck ist nur in C (über den komplexen Zahlen) lösbar.

Dies ist darin begründet, dass wir einen Raum brauchen, in dem das Element sqrt(-1) erklärt ist (und natürlich auch eine Multiplikation).

Der kleinste Körper, der dies erfüllt und R vollständig enthält ist dann C.

Antwort
von BiggerMama, 54

Nein, ist nur im Bereich der komplexen Zahlen lösbar: -1.

Antwort
von Zwieferl, 10

Über einen "Umweg" schon: Da Wurzelziehen und Quadrieren gleichwertige Rechenoperationen sind, kann die Reihenfolge auch vertauscht werden
→ also: √((-1)²) ... dann geht es innerhalb von ℝ

Aber es ist natürlich möglich, dass es Fälle gibt, wo genau die angegeben Reihenfolge erwünscht oder sachlich bedingt vorgegeben ist - dann nicht!

Analogie zur Reihenfolge: 32/(8·4)
→ 32/32 = 1
→ 32/8 · 1/4 = 4· 1/4 = 1

Kommentar von Willibergi ,

(√x)² und √(x²) sind aber nicht gleich.

Denn (√x)² = x und √(x²) = |x|.

Und |x| = x gilt nur, wenn x ≥ 0.

LG Willibergi

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