Frage von simio2000, 65

Irrationalität von der Wurzel aus 2?

Hallo! Wir haben morgen eine Klassenarbeit und ich habe den Irrationalitätsbeweis von der Wurzel aus 2 nicht verstanden. Wir haben folgendes aufgeschrieben: Annahme:√2 Lässt sich als Bruch schreiben. Dann kann man √2 als vollständig gekürzten Bruch schreiben also √2 =m:n Da √2 keine natürliche Zahl ist, gilt n≠1.Also gilt:√2=m:2 |()² . √2²=(m:n)² . 2=m²:n² . 2=m⋅m:n⋅n

Wenn man m:n nicht kürzen kann, dann gilt das gleiche auch für m⋅m:n⋅n. Mit n*n≠1 ist m⋅m:n⋅n keine Natürliche Zahl, 2 aber schon. Das kann nicht sein. Folglich muss die Annahme falsch gewesen sein. Also ist √2 kein Bruch.

Kann mir das jemand nochmal einfacher erklären, dass es für einen 8. Klässler logisch und verständlich klingt? Danke im Vorraus, LG

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 33

Hallo,

rationale Zahlen sind so definiert, daß man sie als Brüche zweier ganzer Zahlen darstellen kann.

Wenn √2 eine rationale Zahl ist, muß es zwei ganze Zahlen m und n geben, so daß gilt: m/n=√2. Außerdem soll der Bruch m/n soweit wie möglich gekürzt sein, was bedeutet, daß m und n keine gemeinsamen Teiler außer 1 haben.

Wenn man beide Seiten dieser Gleichung quadriert, sieht sie so aus:

m²/n²=2, denn (√2)²=2

Dann ist m²=2*n², was bedeutet, daß m² eine gerade Zahl ist, denn sie ist das Doppelte einer ganzen Zahl. m² ist aber auch eine Quadratzahl und die Wurzel aus einer Quadratzahl ist auch eine gerade Zahl, denn nur eine gerade Zahl zum Quadrat ergibt wieder eine gerade Zahl, während das Quadrat einer ungeraden Zahl immer auch ungerade ist.

Wenn m² aber aus der Multiplikation zweier gerader Zahlen entstanden ist, muß m² sogar durch 4 teilbar sein, denn eine gerade Zahl kann man als 2a darstellen; dann ist (2a)²=4a², also durch 4 teilbar.

Da m und n teilerfremd sein sollen und m eine gerade Zahl ist, muß n auf jeden Fall eine ungerade Zahl sein.

Wenn m²/n²=2, dann ist n²=m²/2.

Da m² aber - wie wir gezeigt haben - durch 4 teilbar sein muß, ist m²/2 immer noch durch 2 teilbar. Wir wir bereits bei m² bemerkt haben, entsteht eine gerade Quadratzahl nur aus einer geraden Wurzel. Wenn n² also gerade ist, muß auch n gerade sein. Dann aber sind m und n nicht teilerfremd, denn sie hätten mindestens die 2 als gemeinsamen Teiler, was im Widerspruch zur Voraussetzung steht.

Fazit: Es lassen sich beim besten Willen keine zwei ganzen Zahlen m und n finden, für die gilt: m/n=√2.

Folglich ist √2 keine rationale Zahl.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Elsenzahn ,

Ich finde ja, dass folgende Argumentation noch ein bisschen einfacher ist, und dabei auch noch mehr beweist:

- Wir wissen schon, dass Wurzel(2) keine ganze Zahl sein kann, denn 2 ist nunmal keine Quadratzahl.

- Kann die Wurzel aus 2 ein Bruch sein? Dann müssten wir einen Bruch finden, der quadriert eine ganze Zahl ergibt (und zwar 2).

Vergessen wir für einen Moment die ursprüngliche Frage und schauen, ob Brüche, wenn man  sie quadriert, überhaupt eine ganze Zahl liefern können.

Nehmen wir einen Bruch m/n, wobei m und n ganze, teilerfremde Zahlen sind, und n>1 (denn sonst wäre das eine ganze Zahl und das interessiert nicht). Nun, wenn m und n teilerfremd sind, dann snd auch m² und n² teilerfremd, wie sich leicht aus dem Satz von der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung folgern lässt. Aber

(m/n)² = m² / n² . Das Quadrieren eines vollständig gekürzten Bruches ergibt wieder einen vollständig gekürzten Bruch, und weil n>1 war, so ist auch n²>1, somit kann m²/n² gar keine ganze Zahl sein!


So hat man sich das Jonglieren mit der Teilbarkeit durch 2 gespart, und gleich für alle natürlichen Zahlen bewiesen, dass außer für Qaudratzahlen die Wurzel immer irrational ist.


Andererseits hat der Originalbeweis den Vorteil, dass man den Satz von der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung nicht vorher beweisen muss, er ist unabhängig davon.


Antwort
von YStoll, 42

Ich denke, den Beweis selbst musst du für deine Arbeit morgen nicht umbedingt verstanden haben, sondern eher die Tatsache, dass jede Wurzel einer natürlichen Zahl entweder selbst eine natürliche Zahl ist oder sich nicht als Bruch schreiben lässt.

Erspare dir den Stress für heute also und guck es dir morgen nochmal an.

Meiner Meinung nach ein einfacherer "Beweis" (jetzt sehr umgangssprachlich geschrieben): Angenommen, es gäbe eine "abbrechende Kommazahl" deren Quadrat genau 2 ist. Das kann jedoch nicht sein, weil das Quadrat einer Zahl mit n Nachkommastellen immer genau 2 * n Nachkommastellen hat.
(Ok, das ist eher ein Weg sich das was ich oben geschrieben habe zu merken.)

So wie er da steht enthält der Beweis von deinem Lehrer/ deiner Lehrerin aber einen Fehler:

Da √2 keine natürliche Zahl ist, gilt n≠1.Also gilt:√2=m:2

Das kann man so nicht schlussfolgern. Und man braucht es auch nicht (also n≠1 schon)


Antwort
von 1234xXx, 37

Hier ist der Beweis nochmal schön aufgeschrieben:

https://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_der_Irrationalit%C3%A4t_der_Wurzel_aus_2_be...

Wichtig ist, dass es sich um einen Wiederspruchsbeweis handelt. D.h. man nimmt an Wurzel2 wäre eine rationale Zahl und zeigt dann, dass es zu einem Wiederspruch kommt. Lies die mal die Beweisführung im Artikel kommt (ist für Wikipedia überraschend gut verständlich) und sag wo du nicht weiterkommst. Der "Trick" des Beweises ist, das man erst davon ausgeht, dass die Bruchdarstellung von Wurzel2 = p/q vollständig gekürzt ist und dann zeigt, dass sowohl p und q durch 2 teilbar sind (gerade). (Womit der Bruch mit 2 gekürzt werden könnte -> Wiederspruch)

Kommentar von YStoll ,

Das ist eine eindeutig schülerfreundlichere Variante

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community