Frage von Zabiaka, 19

Inwiefern ist das uneigentliche Integral eine Erweiterung des Riemann-Integrals?

siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Uneigentliches_Integral "Das uneigentliche Integral kann als Erweiterung des Riemann-Integrals...verstanden werden" Bitte einfach erklären.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 19

Wenn es nur um den Begriff "Erweiterung" geht, spielt der erste Abschnitt keine Rolle - dann siehe unten

1. uneigentliches Integral mit Integrationsgrenze im Unendlichen

Beim Riemann-Integral teilst du die Definitionsmenge der Funktion ja in Teile ein, und zwar endlich viele. Diese Teile haben eine maximale Größe (die du nachher immer kleiner machst).

Mit endlich vielen Teilen, die jeweils eine endliche Länge haben, kommst du aber nie bis unendlich. Da musst du einen "Grenzwert" nehmen.

In diesem Fall nimmst du z. B. das Integral zwischen den Grenzen a und b und schaust nach, was passiert, wenn du b immer  größer machst. Wenn das Integral dabei einem bestimmten Wert immer näher kommt, definiert (nennt) man diesen Wert den Wert des uneigentlichen Integrals.

2. uneigentliches Integral mit unbeschränktem Integranden

Beim Riemann-Integral erzeugst du ja eine Treppenfunktion, bei der jeder Anteil eine bestimmte Höhe hat. Insbesondere ist die Höhe nicht unendlich. Wenn die Funktion, die du integrieren willst, aber in der Nähe einer bestimmten Zahl Werte hat, die größer sind als jede vorher gegebene Grenze, kannst du so eine Treppenfunktion nicht angeben.

Sagen wir, du willst ein Integral von a bis b ausrechnen, wo der Integrand bei a aber nicht beschränkt ist. Z. B. f(x) = 1/√(x) von 0 bis 1.

Dann nimmst du das Integral von einer Zahl a' (a'>0) bis b. Dafür kannst du das Integral ausrechnen. Dann schaust du, was passiert, wenn du a' immer näher an a heranrückst.

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Wenn es nur um den Begriff "Erweiterung" geht, spielt der erste Abschnitt keine Rolle.

Wenn du ein normales Riemann-Integral von a bis b hast, kannst du die Integrale von a' bis b und von a bis b' ausrechnen. (Hierbei liegen a' und b' natürlich zwischen a und b.)

Wenn du a' immer näher an a heranrückst (ohne dass a' tatsächlich = a wird), rückt der Wert des Integrals immer näher an den Wert des Integrals von a bis b. Und zwar so, dass du diesen Unterschied so klein machen kannst wie du willst.

Ebenso für b' -> b.

Das ist genau dasselbe wie bei den oben erwähnten uneigentlichen Integralen, außer dass das Integral für das gesamte Intervall auch direkt ausgerechnet werden kann.

Weil uneigentliche Integrale überall da funktionieren, wo auch normale Integrale funktionieren, aber dazu für ein paar Fälle mehr, nennt man uneigentliche Integrale eine Erweiterung des "gewöhnlichen" (Riemannschen) Integrals.

Kommentar von Zabiaka ,

Vielen dank, sehr hilfreich. Eine Frage hätte ich allerdings noch:

Inwiefern ist das uneigentliche Integral eine Erweiterung des Lebesgue-Integrals?

Kommentar von PWolff ,

Auf dieselbe Weise.

Das Lebesgue-Integral ist zunächst ja auch nur für wesentlich beschränkte Funktionen auf messbaren Definitionsbereichen mit endlichem Maß erklärt.

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