Frage von hihi58, 43

Intergral rechnung, wie muss man die Aufgabe rechnen ?

Könnt ihr mir helfen kann die aufgaben nicht lösen 😔

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 3

Hallo,

ich lade Dir eine Skizze hoch, damit Du Dir den Sachverhalt besser vorstellen kannst. Es geht um die Fläche des Dreiecks zwischen den Koordinatenachsen im Intervall [0;2] und der Geraden y=0,5x. Dieser Fläche kannst Du Dich annähern, indem Du das Dreieck in kleine Rechtecke unterteilst, die hier alle die Breite von 0,2 cm, aber unterschiedliche Höhen besitzen. Die Höhe jedes Rechtecks ist abhängig vom jeweiligen Funktionswert - und zwar dem Funktionswert, der dem linken Rand des jeweiligen Rechtecks entspricht.

Das erste Rechteck hat die Fläche 0,2*0,1, denn f(0,2)=0,1.

Das zweite beginnt bei x=0,4, ist also 0,5*0,4=0,2 cm hoch, das dritte hat eine Höhe von 0,3 cm usw. Die Breite bleibt aber jedesmal gleich. Die Fläche dieser neun Rechtecke insgesamt ist also gleich 0,2*0,1+0,2*0,2+0,2*0,3 bis hin zum letzten: 0,2*0,9.

Die immer gleiche 0,2 kannst Du ausklammern, so kommst Du auf die Gesamtfläche von 0,2*(0,1+0,2+...+0,9) bzw. von 0,2*(1/10+2/10+...9/10).

Auch die Zehntel kannst Du ausklammern:

0,02*(1+2+...+9) ist die Gesamtfläche der neun Rechtecke.

Für die Summe 1+2+...n aber gibt es eine Formel, nämlich (n/2)*(n+1).

Wenn Du für n eine 9 einsetzt, kommst Du auf die Summe 4,5*10=45.

Das multipliziert mit 0,02 ergibt die Fläche dieser neun Rechtecke, also 0,9 cm². Das ist etwas weniger als die Dreiecksfläche, aber nicht so furchtbar viel weniger.

Genauer wird die Sache, wenn Du dieses Dreieck in mehr Rechtecke einteilst, die dann natürlich schmaler werden.

Nimmst Du hundert, wobei das erste ein Rechteck der Höhe Null ergibt und deshalb in die Gesamtfläche nicht eingerechnet werden kann, kommst Du auf 99 Rechtecke mit der Breite von 0,02 cm und Höhen zwischen 0,01 und 0,99 cm. Auch hier kannst Du wieder eine Summe bilden. Jedes Rechteck hat eine Breite von 0,02 cm. Das erste Rechteck ist 0,01 oder 1/100 cm hoch, das zweite 2/100 cm usw. bis Du zum letzten mit einer Höhe von 99/100 cm kommst.

Die Breite von 0,02 und die Hundertstel kannst Du wieder ausklammern, so kommst Du auf 0,0002*(1+2+...+99)=0,0002*(99/2)*(99+1)=
0,0002*49,5*100=0,99 cm².

Diese Fläche ist größer und unterscheidet sich nur noch wenig von der Dreiecksfläche.

Wenn Du nun nicht nur hundert, sondern unendlich viele Rechtecke nimmst, ist deren Gesamtfläche unendlich nah an der Dreiecksfläche.

Die Formel wäre hier 2/n (also die Breite des gesamten Abschnittes geteilt durch die Zahl der Rechtecke) multipliziert mit der Summe (1/n+2/n+...(n-1)/n) 

Eins mußt Du ja am Ende abziehen, weil das erste Rechteck ein Rechteck mit der Höhe Null ist und deshalb nicht mitzählt.

Die n-tel ziehst Du wieder vor die Klammer, so daß nur die Summe der natürlichen Zahlen zurückbleibt:

2/n²*(n/2)*n (nicht n+1, weil Du ja nur bis zu n-1 rechnest und n-1+1=n

2/n²*n²/2=1.

Dies ist der gesuchte Grenzwert und gleichzeitig dir tatsächliche Fläche des Dreiecks, das zwischen der Geraden und den Koordinatenachsen im Intervall zwischen 0 und 2 entsteht.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von slutangel22, 26

Fang doch erstmal mit U_10 an.

Kommentar von hihi58 ,

Ich kann die Aufgabe komplett nicht also weis nicjt wie ich anfangen soll

Kommentar von slutangel22 ,

Dann zieh dir doch erstmal rein, was ne Untersumme ist.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten