Frage von maximilian1990, 48

Integrieren frage?

servus. kann mir jem. helfen? A beam of lenth 6m has a load, w, given by w = 800 + 1/2x³ where x is the distance along the beam. The total load P is given by

 P = ∫ wdx 

wobei die grenzen des integrals 0 und 6 sind (obere 6)

determine the total load P by using: integral calculus

vielen dank

Expertenantwort
von everysingleday1, Community-Experte für Mathematik, 32

Die Simpson-Regel ist exakt für alle Polynome bis zum Grad 3. Dann gilt

int( w(x) , x = 0..6 ) dx = 1/6 (6-0) ( f(0) + 4 f(3) + f(6) ) =

1/6 * 6 * ( 800 + 4 * (800+27/2) + 800+216/2 ) =

800 + 3200 + 54 + 800 + 108 =

4962.

.......

Und jetzt nochmal zur Überprüfung mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

int( w(x), x = 0..6 ) = W(6) - W(0) mit W(x) = 800x + 1/8 x^4,

W(6) - W(0) = 800 * 6 + 1/8 * 6^4 - 0 = 4962.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathematik, 48

∫ a * x ^ n * dx = (a / (n + 1)) * x ^ (n + 1) + C

∫ (800 + (1 / 2) * x ^ 3) * dx = 800 * x + (1 / 8) * x ^ 4 + C

C = 0

(800 * 6 + (1 / 8) * 6 ^ 4) - (800 * 0 + (1 / 8) * 0 ^ 4) = 4962

P = 4962

Kommentar von maximilian1990 ,

super danke,

die aufgabe geht allerdings noch weiter:

jetzt soll ich das ganze mit der simpson regel machen, kannst das auch wer?

Kommentar von DepravedGirl ,

Die Simpsonregel (Keplersche Fassregel) tritt bei der numerischen Integration in Erscheinung.

ttps://de.wikipedia.org/wiki/Simpsonregel

Du unterteilst das Intervall von 0 bis 6 in in viele kleine Intervalle und wendest dann auf jedes Teilintervall die Formel von der Webseite an, danach addierst du alle Teilintervalle.

Kommentar von maximilian1990 ,

das hab ich versucht, bekomm leider nur mist raus.. hättest du zeit das mit der simpson regel mal zu rechnen u. ggf. zu fotografieren?

Kommentar von DepravedGirl ,

Hier mal ein primitives Prototyp-Programm -->

--------------------------------------------------------------------------------------

DEFDBL A-Z

CLS

INPUT "Untere Grenze des Integrals "; a

INPUT "Obere Grenze des Integrals "; b

INPUT "Wie oft soll das Integrationsintervall unterteilt werden "; h

i = 0

w = (b - a) / 6

k = (b - a) / h

FOR z = a TO b - k STEP k

t = z + k

i = i + w * (y(z) + 4 * y((z + t) / 2) + y(t))

NEXT z

i = i / h

PRINT "Wert des Integrals "; i

END

FUNCTION y (x)

y = (800 + (1 / 2) * x ^ 3)

END FUNCTION

---------------------------------------------------------------------------------------

http://www.qb64.net/

Da kommt immer exakt 4962 heraus !!

Kommentar von everysingleday1 ,

Es reicht aus, wenn man die x-Werte a, b und (a+b)/2 verwendet. Eine noch genauere Zerlegung ergibt keinen Sinn, denn die Simpson-Regel hat den Genauigkeitsgrad 3, ist also exakt für alle Polynome bis zum Grad 3, und w(x) ist ein solches Polynom.

Kommentar von DepravedGirl ,

Das Programm wurde universell geschrieben, für jede beliebige Funktion, ohne Definitionslücken.

Probiere es aus, eine andere Funktion bei

FUNCTION y (x)

y = (800 + (1 / 2) * x ^ 3)

END FUNCTION

einzusetzen.

Das Programm rechnet dir dann den Integralwert aus.

Kommentar von maximilian1990 ,

ich versteh es trotzdem immer noch nicht..woher weiß ich wieviele y0 y1 y2 y3 etc. ich brauche? kanns keiner aufschreiben u. fotografieren für dieses bsp.?

Kommentar von DepravedGirl ,

Siehe dir die Antwort von everysingleday1 an, der / die hat es doch wunderbar aufgeschrieben !

Kommentar von maximilian1990 ,

ich versteh nicht zb. bei dem wikipedia artikel der simpsonregel wie oft ich diesen wert in der klammer fortführen muss zb. : x0 , x1, x2, xn-1 etc. was ist das? hat das was mit meinen grenzen zu tun?

Kommentar von DepravedGirl ,

Stelle am besten nochmal eine weitere Frage auf GF und sage, dass du die Simpson-Regel nicht verstehst und sie erklärt haben möchtest, ich fürchte ich kann es dir nicht besser erklären, wenn du mein Programm nicht verstehst, dann glaube ich nicht, dass ich dir das noch besser erklären kann.

Kommentar von maximilian1990 ,

servus.

ich bin jetzt mal einen schritt zurück gegangen u. hab es mal mit der trapez regel versucht u. bekomme da 4633,5 raus. kann das sein?

Kommentar von DepravedGirl ,

DEFDBL A-Z

REM Numerische Integration nach der Trapez - Regel

CLS

PRINT "Integrationsintervall :"

PRINT

INPUT "von "; x1

INPUT "bis "; x2

PRINT

INPUT "Anzahl der Teilungen "; n

m = n

b = (x2 - x1) / n

FOR x = x1 TO (x2 + b) STEP b

z = z + 1

IF z = 1 THEN i = i + y(x) / 2: GOTO 1

IF z = m + 1 THEN i = i + y(x) / 2: GOTO 1

i = i + y(x)

1

NEXT x

i = b * i

PRINT

PRINT "I = "; i

WHILE INKEY$ = ""

WEND

RUN

FUNCTION y (x)

y = 800 + (1 / 2) * x ^ 3

END FUNCTION 

---------------------------------------------------------------------------------------

http://www.qb64.net/

Du benötigst diese Programmiersprache und musst den Text von oben in das geöffnete Programm hineinkopieren, das geht am besten mit der Tastenkombination STRG + V

Danach auf RUN - START gehen oder die F5 - Taste drücken.

----------------------------------------------------------------------------------------

Meine Ergebnisse -->

Mit 1 Unterteilungen --> 15108

Mit 10 Unterteilungen --> 5529.8688

Mit 100 Unterteilungen --> 5016.69255048

Mit 1000 Unterteilungen --> 4962.000161999998

Mit 10000 Unterteilungen --> 4962.00000162004

Mit 100000 Unterteilungen --> 4962.000000016505

Mit 1000000 Unterteilungen --> 4962.005447998501

Das beste Ergebnis erhält man also mit 100000 Unterteilungen, da ist das Ergebnis auf 7 Stellen nach dem Komma genau.

Kommentar von maximilian1990 ,

servus.

hab jetzt alle aufgaben fertig u. bin nun bei der letzten teilaufgabe angelangt, danke bis dahin für die tolle hilfe.

Die letzte teilaufgabe lautet:

- diskutieren sie die differenz der berechneten werte vom numerischen integrieren (trapezregel: 4966,5; simpsonregel: 4962) u. dem rechnerischen integrieren ( 4962)

was ist damit gemeint? schreiben das trapezregel ungenau ist?

Kommentar von DepravedGirl ,

Ich habe jetzt noch mal f(x) = sin(x) von 0 bis 6 integriert, mit der Trapezregel erhält man mit 100000 Unterteilungen -->

I = 0.03982971335 (gerundet)

Mit der Simpson-Regel nach 190 Unterteilungen -->

I = 0.03982971336 (gerundet)

Echter Wert --> 0.0398297133496340...

Die Trapezregel ist also etwas genauer, wenn man die maximalen Grenzen der jeweiligen Rechnergenauigkeit ausschöpft, als die Simpson-Regel, dafür werden aber auch sehr viel mehr Unterteilungen benötigt (526 mal mehr ist es hier).

Bei Polynomen bis zum Grad 3 ist die Simpsonregel genauer.

Das steht auch auf dieser Webseite -->

http://goo.gl/K0mBLt

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