Frage von hellokitty9899, 20

Integrieren - siehe Bild?

Wieso steht in zeile zwei wieder die ausgangsfunktion? Ich hätte einfach die Stammfunktion von 2cos2x mal 1/2sin(2x) gebildet hab ich da was falsch verstanden kann mit jemand den schritt erklären?

Antwort
von precursor, 7

f(x) = 2 * cos(2 * x) * (1 / 2) * sin(2 * x)

Das kannst du noch vereinfachen -->

f(x) = cos(2 * x) * sin(2 * x)

Jetzt schaut man in eine Formelsammlung oder ins Internet oder fragt WolframAlpha.com, zu den trigonometrischen Funktionen gibt es jede Menge sogenannte Theoreme -->


cos(2 * x) * sin(2 * x) = (1 / 2) * sin(4 * x)

f(x) = (1 / 2) * sin(4 * x)

Das ist ein sogenanntes elementares Integral, also eines wo die Integration allgemein bekannt ist -->

Es gilt -->

∫ k * sin (n * x) * dx = - (k / n) * cos(n * x) + C

In deinem Fall also -->

∫ (1 / 2) * sin(4 * x) * dx  = - (1 / 8) * cos(4 * x) + C

Also -->

I(x) = - (1 / 8) * cos(4 * x) + C

Kommentar von precursor ,

P.S -->

Ich hoffe du hast dich bei deiner Funktion in deiner Frage nicht verschrieben, damit muss man bei Fragestellern auf GF leider fast immer rechnen.

Kommentar von hellokitty9899 ,

Danke! :) und nein ich hab mich nicht verschrieben. Jetzt muss ich obere und untere Grenze in -1/8cos(4x) einsetzen wie üblich ausrechnen und das wars dann auch schon, richtig?

Kommentar von precursor ,

Ja, genau, das wars dann.

Kommentar von hellokitty9899 ,

Vielen Dank :-)

Kommentar von precursor ,

Gerne ;-)) !

Antwort
von Khoonbish, 9

Da wird ne partielle Integration gemacht und wie du siehst entsteht das zu berechnende Integral dort nochmal, weswegen es auf die andere Seite geholt und durch 2 geteilt wird.

Kommentar von hellokitty9899 ,

Und warum entsteht das Ausgangs Integral nochmal? Ob ich nun aufleite oder ableite ich komme niemals auf cos(2x)*sin(2x). Oder ist das etwas was man sich einfach merken sollte und bei jeder Aufgabe einfach so vorgehen sollte?

Kommentar von Zwieferl ,

Wichtig ist, wenn du mahermals partiell ableitest: du musst immer das gleiche als f bzw g’ nehmen sonst drehst du dich im Kreis.

 ∫f’(x)·g(x)=f·g-∫f·g’ → wenn du bei erster partiellem Integral cos(2x)=f’ nimmst, dann musst du es auch beim zweiten partiellen Integral so machen, d.h. in diesem Fall f=-¹/₂·sin(2x) --- und vice versa!

Kommentar von hellokitty9899 ,

Okay ich habs jetzt verstanden danke :-)

Antwort
von Korrelationsfkt, 7

Hallo,

du musst zweimal die partielle Integration anwenden.

Beim zweiten mal integrieren, kommst du wieder auf das Ausgangsintegral.

Jetzt musst du dir einfach merken, dass wenn dies geschieht, brauchst du das Integral einfach auf die andere Seite bringen und hast dieses Integral dann zweimal. Deshalb teilst du nochmal durch 2.

LG

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