Frage von MG05O, 32

Integration von t*e^(-st) [Laplace-Transformation]?

Hallo,

Möchte gerne t Laplace transformieren. Hab nun Probleme und weiß nicht ganz wie ich die oben genannte Funktion integrieren soll.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von kreisfoermig, 27
∫ tⁿ·exp(-st) dt von t=0 bist ∞
= ∫ (-∂/∂s)ⁿ exp(-st) dt
= (-∂/∂s)ⁿ∫ exp(-st) dt (*)
= (-∂/∂s)ⁿ[-1/s · exp(-st)]
= (-1)ⁿ(∂/∂s)ⁿ(-1/s · (0-1))
= (-1)ⁿ(∂/∂s)ⁿ 1/s
= (-1)ⁿ(-1)ⁿn!/sⁿ⁺¹ argumentiere per Induktion
= n!/sⁿ⁺¹

Für n=1 ist gilt also Integral = 1/s².

(*) solche Tausche gelten unter gewissen Umständen, die hier auftreten.

Kommentar von MG05O ,

Tut mir leid für die Frage, aber was für ein Zeichen ist das?

Kommentar von kreisfoermig ,

Partielle Ableitung. Die hier von mir verwendete Ableitung ist partiell bzgl. s und nicht t. Siehe unten für einen anderen Ansatz mit exakten Stammfunktionen. Den Weg des Produktintegrals überlasse ich dir—das ist aufwändig und unschön aber evtl. wirds von euch (leider) verlangt.

Antwort
von HanzeeDent, 21

Benutze hier doch die partielle Integration:

int(f'(x)*g(x))dx = f(x)*g(x)-int(f(x)*g'(x))dx

g(x)=t  g'(x)=1

f(x)=-1/s*e^(-st)  f'(x)=e^(-st)

int(e^(-st)*t)dt = -t/s*e^(-st)-int(e^(-st))dt = -t/s*e^(-st)+1/s*e^(-st)+c =

= (1-t)/s*e^(-st)+c

Antwort
von iokii, 28

Nach t oder nach s?

Kommentar von MG05O ,

"t", tut mir leid hab das "dt" hinten vergessen

Antwort
von Khoonbish, 24

Mit partieller Integration.

Kommentar von MG05O ,

Ja, das ist ja auch der einzige Weg... Kannst du mir vielleicht zeigen wie´s geht?

Kommentar von kreisfoermig ,

Es ist nicht der einzige Weg. Es gibt mindestens zwei andere. Einer in meinem Beitrag. Ein anderer: errate eine Stammfunktion.

Ich finde zunächst eine Stammfkt für tⁿ·exp(–t) und dann Substituiere. Versuche mit p(t)·exp(–t) für ein Polynom p n-ten Grades. Also p = ∑a[k]·tᵏ für k=0 bis n.

Dann gilt 

(p(t)·exp(-t))´
= p´(t)exp(-t) + p(t)·-exp(-t)
= exp(-t)·∑(k+1)·a[k+1]tᵏ für k=0 bis n-1
+ -a[n]tⁿ·exp(-t)
+ -exp(-t)·∑a[k]tᵏ für k=0 bis n–1
= exp(-t)·∑((k+1)·a[k+1]-a[k])tᵏ für k=0…n-1
+ -a[n]tⁿ·exp(-t)
=! tⁿ·exp(-t)

Daher muss gelten:

-a[n] = 1, d.h. a[n]=-1; und
Für alle 0≤k<n:
(k+1)·a[k+1]-a[k] = 0
⟺ (k+1)·k!·a[k+1] = k!·a[k]
⟺ (k+1)!·a[k+1] = k!·a[k]
Also für alle 0≤k≤n:
k!·a[k] = const
also k!·a[k] = n!·a[n] = -n!
also a[k] = -n!/k!

Daher ist p(t) = -∑tᵏ/k! für k=0 bis n das gesuchte Polynom. Es gilt (p(t)·exp(–t))´ = tⁿ·exp(–t). Daraus folgt

(1/sⁿ⁺¹ ·p(st)·exp(-st))´
= 1/sⁿ⁺¹ · s· (st)ⁿ·exp(-t)
= tⁿ·exp(-st)

Also ist 1/sⁿ⁺¹ ·p(st)·exp(-st) eine Stammfunktion für tⁿ·exp(–st). Darum gilt

∫tⁿ·exp(–st) dt von t=0 bis ∞
= [1/sⁿ⁺¹ ·p(st)·exp(-st)]
= 1/sⁿ⁺¹ · [0 – p(0)·1] beachte: poly·exp → 0
= -1/sⁿ⁺¹ · p(0)
= -1/sⁿ⁺¹ · a[0]
= -1/sⁿ⁺¹ · -n!/0!
= n!/sⁿ⁺¹

Also ℒ[tⁿ](s) = n!/sⁿ⁺¹, was mit der Berechnung im anderen Beitrag übereinstimmt.

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