Frage von hashtaglyl, 24

Integralregel ln|x| Wann darf man sie nicht mehr anwenden?

Wenn man 1/x hernimmt, nimmt man die Regeln ln|x|. Aber wann darf ich das nicht mehr? Wie darf der Zähler unter dem 1er aussehen, dass die Regel angewendet werden darf?

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 14

Allgemein kann man sagen: f(x)=a/(bx+c) => F(x)=a/b * ln(|bx+c|)

Der Zähler (eine Konstante) bleibt unverändert (kann vor das Integral gezogen werden). Mit Hilfe der Substitution steht letztendlich die innere Ableitung im Nenner und der gesamte Nenner taucht als Betrag im ln auf.

Antwort
von HellasPlanitia, 14

Die Stammfunktion von 1/x ist ln|x|+c. Diese Aussage gilt, aber auch nur genau diese. Suchst du nicht die Stammfunktion von 1/x, sondern von 1/(3x), 1/x^2, 1/(1/x) oder etwas anderem, dann machst du eine Substitution und schaust, ob du mit diesem Ansatz eine Stammfunktion findest. Wenn nicht (und das wird in den meisten Fällen so sein), dann solltest du anders substituieren, also eine andere "Regel" verwenden.

Kommentar von hashtaglyl ,

Was ist mit 1/2-x

Kommentar von HellasPlanitia ,

1/2 - x oder 1/(2-x)? In erstem Fall ist das einfach eine lineare Funktion, deren Stammfunktion ist sehr einfach und komplett ohne Logarithmus bestimmbar.

Im zweiten Fall kannst du das selbst herausfinden: Substituiere mit u = 2-x, dann gilt du = -dx. Also suchst du das unbestimmte Integral von -1/u du. Ziehe das Minus vors Integral, und schon siehst du, dass da dein Logarithmus rauskommt (mit einem Minus davor). Anschliessend substituierst du zurück und ersetzt u wieder durch 2-x.

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