Frage von luisaohneo, 88

Integralrechnung wie gehen die Aufgaben?

Hallo :)
Bitte löscht die Frage nicht ^^ es sind Hausaufgaben, aber mir geht es nicht darum, dass ich sie nicht selber machen will, sondern dass ich nicht weiß wie..:)
Ich habe das ganze Prinzip noch nicht so verstanden. Könnte mir jemand erklären, wie ich die Aufgaben rechne? Also bei der 1. glaube ich, dass 2/3^3 rauskommt oder auch 2. je nachdem. Ich weiß aber bei der 2. und 3. Aufgabe nicht, wie ich sie berechnen soll. Wäre lieb, wenn mir wer helfen kann.
Vielen Dank :)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von GeoGamerLP, 24

Aufg 1)

Du bildest zunächst die Stammfunktion. Dies machst du, indem du die Potenz von jedem x um eins erhöht und die Zahl vor dem x mit dieser "neuen" Potenz teilst. Bei Konstanten (Zahlen ohne x) hängst du ein x dran. 

WICHTIG: Die Konstante +C fällt weg!

Bei der ersten Aufgabe wäre es wie folgt [I(a;b) := Integral von a bis b]:

I(0;2) = (x^2 + 1) dx = (1x^2 + 1) dx = {0;2}[1/3x^3 + (1)x]

Dies macht man bei jedem Summanden/Subtrahenden einzeln!

Bei 2) also:

F(x) = 1/6x^6 + (1)x^3 + 2x^2

Nun zurúck zur 1):

Bei der Umwandlung zur Stammfunktion fällt sowohl das Integralzeichen als auch das "dx" weg; du schreibst sie in großen eckigen Klammern. Links unten schreibst du den kleineren x-Abschnitt (0) an der linken Klammer, links oben die größere (2).

Jetzt gehst du wie folgt vor: Du setzt den oberen x-Wert (2) in die Stammfunktion ein. 

{0;2}[1/3x^3 + x] = (1/3 * 2^3 + 2)

AUCH WICHTIG: Wenn der untere Abschnittswert 0 ist (so wie es bei der Aufgabe 1 der Fall ist, muss du nur noch ausrechnen.

1/3 * 2^3 + 2 = 1/3 * 8 + 2 = 8/3 + 2 = 2 2/3 + 2 = 4 2/3 FE

Andernfalls musst du dies wieder mit der Stammfunktion, aber mit dem kleineren Abschnitt (hier 0, bei Aufg. 3 = 1) subtrahieren: 

(1/3 * 2^3 + 2) - (1/3 * 0^3 + 0) = 4 2/3 - 0 = 4 2/3 FE

(Hier ändert sich natürlich nichts, da die untere Intervallsgrenze bei 0 liegt und der Subtrahend dadurch auch 0 ist, aber ansonsten muss du dies so (natürlich mit mehr Rechenschritte) machen))

FE steht für Flächeneinheit(-en); Dies muss du hinter dem Ergebnis schreiben, wenn keine Längen-/Flächeneinheit vorhanden ist.

2)

0 FE. Du fängst das Intervall bei x = 1 an und beendest es dort auch. Also gibt es keine Fläche zum Berechnen.

Merk dir also: Wenn unterer Abschnittswert = oberer Abschnittswert, dann ist die Fläche A = 0 FE. Nix rechnen.

Ich hoffe, du kannst jetzt 3) selbstständig lösen. Ansonsten bei Fragen kommentieren.

Kommentar von GeoGamerLP ,

Und noch etwas zu 3):

Wenn du beim ersten Integral (x+2)^2 ausklammerst, erhältst du x^2 + 4x + 4. Du siehst: Beide Integrale "beinhalten"/umschreiben die gleiche Funktion. Außerdem entspricht die obere Grenze (2) des ersten Intregals der unteren (2) des zweiten Integrals.

Das heißt, man kann zusammenfassen. In diesem Beispiel sähe das dann so aus

A = F(2) - F(-1) + F(3) - F(2) = -1 * F(-1) + F(3)

Und NEIN: -1 * F(-1) =/= F(1)!! Denn die Multiplikation mit -1 dreht zudem alle Vorzeichen der Stammfunktion um.

Jetzt also nur noch einsetzen und ausrechnen.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 20

Hallo,

bei allen Aufgaben mußt Du zunächst die Stammfunktion bilden, dann jeweils für x beide Grenzen einsetzen und den Funktionswert der unteren Grenze von dem der oberen abziehen.

Die Stammfunktion zu f(x)=x²+1 lautet F(x)=(1/3)x³+x

Da F(0) hier Null ergibt, reicht es, nur den Wert der oberen Grenze, also F(2) zu bestimmen. Die Fläche wären also 8/3+2 Flächeneinheiten.

Bei f(x)=(x+2)² löst Du am einfachsten die Klammer aus, indem Du gemäß der ersten binomischen Formel vorgehst. Du kannst dann die Summenterme einzeln integrieren.

Es handelt sich übrigens um die gleiche Funktion wie die vierte.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von luisaohneo ,

Super, vielen Dank! Damit sollte ich klar kommen :)

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 22

Bei 2)

Welche Fläche wird von dem Graphen im Intervall von 1 bis 1 eingeschlossen, bzw. wird überhaupt eine Fläche eingeschlossen?

Bei 3)

Löse die Potenz mithilfe der binomischen Formeln und du solltest schnell etwas bemerken,womit du das Integral zusammenziehen kannst.

Kommentar von luisaohneo ,

Vielen Dank :) allerdings weiß ich trotzdem nicht, wie ich vorgehen müsste laut der Erklärung :o

Kommentar von luisaohneo ,

Also bei drei ja aber bei 2?

Kommentar von GeoGamerLP ,

Bei Aufgabe 2 ist das Ergebnis null. Du beginnst das Intervall mit x = 1 und schließt es da. Da gibt es nichts zu berechnen.

Also: Wenn unterer Abschnittswert = oberer Abschnittswert, dann ist die Fläche gleich 0 FE

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 30

Zuerst integrierst Du die Funktionen, indem Du jeden Summanden für sich integrierst. Die Regel dazu ist hier nur diese eine:
f(x)=x^n => F(x)=1/n * x^(n+1)

Also bei jedem Summanden den Exponenten von x um eins erhöhen, und den Kehrwert dieses Exponenten vor die Potenz schreiben. Besteht ein Summand nur aus einer Zahl, dann steht da in Gedanken x^0 hinter. Anschließend setzt Du die obere Grenze ein und subtrahierst davon die untere Grenze.

Als Beispiel Aufgabe 1)
zuerst integrieren: f(x)=x²+1 (*x^0)  => F(x)=1/3x³+x
jetzt Grenzen einsetzen:
F(2) - F(0) = 1/3 *2³+2 - (1/3 *0³+0) = 8/3+2 - 0 = 14/3

Kommentar von surbahar53 ,

Und bei der dritten Aufgabe nicht übersehen, (x+2)^2 erst mal auszuklammern.

Kommentar von GeoGamerLP ,

Streng genommen ist diese Schreibweise nicht ganz richtig (unten)

Kommentar von Rhenane ,

Mir ging es mehr um die Vorgehens- als um die Schreibweise. Die entsprechenden Zeichen können eh nicht dargestellt werden und  die Schreibweise ist wohl auch nicht einheitlich.

So habe ich z. B. gelernt, die Grenzen des Integrals hinter der gebildeten Stammfunktion an einen senkrechten Strich zu notieren (ohne Klammern) und nicht vorne an eine eckige Klammer.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 5

Formeln siehe Mathe-Formelbuch Integralrechnung "Grundintegrale"

bei der 1.ten Aufgabe Formel Integral (x^k * dx= x^(k+1) /k+1)

Int (x^2+1) * dx= x^2*dx+ 1* dx= 1/3 *x^3 +1 *x + C

C ist die Integrationskonstante,die immer angehängt werden muss !!

A= obere Grenze minus untere Grenze

A=(1/3 * 2^3 + 1*2) - (1/3 *0^3 + 1*0)=4,66.. FE (Flächeneinheiten)

2.te Aufgabe

Int(x^5 - 3 *x^2 + 4 *x)*dx=x^5 *dx -3 *x^2*dx +4 *x *dx

=1/6 *x^6 - 3/3 *x^3 +4/2 * x^2 + C

A=(1/6 * 1^6 - 1 *1^3 +2 *1^2 ) - ( 1/6 *1^6 - 1 *1^3 +2 *1^2)= 0

HINWEIS : Man sieht.dass die Integrationskonstante wegfällt !

3.te Aufgabe

Int (x+2)^2 * dx Substitution z=x+2 abgeleitet z´=dz/dx= 1 dx= dz/1

HINWEIS : Die Konstante 1/1 kann vor das Integralzeichen gezogen werden !

Int(z)^2 * dz=1/3 * z^3 + C=1/3 * (x + 2)^3 + C 

A=(1/3 *(2 + 2)^3) - (1/3 *(-1 +2)^3=21 FE

Formel für die Integration durch "Substitution" Int(f(x) * dx=Int(f(z) *dz/f´(z)

HINWEIS : Funktioniert nur ,wenn f´(z)= konstant ist oder sich das verleibende x herauskürzt !Die konstante f´(z) =Konstant kann vor das Integralzeichen gezogen werden.

Bei der letzten Aufgabe

Int (x^2 + 4 * x + 4) *dx=x^2 *dx + 4 *x *dx + 4 *dx Rechnung,wie bei der ersten Aufgabe

obere Grenze xo=3 und untere Grenze xu= 2

Int ( " ")=20,33.. FE hab ich mit meinen Graphikrechenr (GTR ,Casio) ermittelt.

Besorge dir privat auch einen GTR . Die Adressen der Hersteller bekommst du im Internet,wenn du im Suchfeld "Graphiktaschenrechner"oder "programmierbarer Taschenrechner" eingibst.

Die beste Qualität hat Casio. Meiner rechnet schon 12 Jahre ohne einen Fehler.

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